2010　東京理科大学　薬学部B方式2月11日実施MathJax

【１】　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$を頂点とする四面体において，$▵\mathrm{ACD}$の重心を${\mathrm{G}}_1\text{，}▵\mathrm{BCD}$の重心を${\mathrm{G}}_2$とする．このとき次が成り立つ．

(1)　${\displaystyle \frac{{\mathrm{G}}_1{\mathrm{G}}_2}{\mathrm{AB}}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$である．

(2)　また，$\mathrm{E}$は線分$\mathrm{AC}$を$\mathrm{AE}:\mathrm{EC}=2:1$に内分する点とし，点$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}$を通る平面と線分${\mathrm{G}}_1{\mathrm{G}}_2$の交点を$\mathrm{F}$とする．このとき${\displaystyle \frac{\mathrm{F}{\mathrm{G}}_2}{{\mathrm{G}}_1\mathrm{F}}}=\boxed{\text{ウ}}$である．

(3)　さらに$\mathrm{AB}=4\text{，}\mathrm{AC}=4$かつ$\angle \mathrm{BAC}$と$\angle \mathrm{BAD}$および$\angle \mathrm{BFE}$がすべて直角とすると$\mathrm{AD}=\boxed{\text{エ}}$である．

【２】　$a$を実数の定数として，$x$の関数

$f(x)=(x-2a-2)(x^2+2ax-5a^3-4)$

を考える．このとき，$f(x)$の導関数を$f^{\prime }(x)$として，$x$についての方程式$f(x)=0$と$f^{\prime }(x)=0$が共通の解をもつような$a$の値は$\boxed{\text{オ}}$個あり，そのうち整数は$\boxed{\text{カ}}$個ある．

【３】　$t$は正の実数とする．$xy$平面において，放物線

$C_1:y=x^2$

と，$C_1$上の$2$点$(-{\displaystyle \frac{4}{t}},{\displaystyle \frac{16}{t^2}})\text{，}({\displaystyle \frac{t}{2}},{\displaystyle \frac{t^2}{4}})$をそれぞれ頂点とする$2$つの放物線

$C_2:y={(x+{\displaystyle \frac{4}{t}})}^2+{\displaystyle \frac{16}{t^2}}\text{，}$

$C_3:y={(x-{\displaystyle \frac{t}{2}})}^2+{\displaystyle \frac{t^2}{4}}$

がある．$C_2$と$C_3$の交点の座標は

$({\displaystyle \frac{t}{\boxed{\text{キ}}}}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{t}},{\displaystyle \frac{t^2}{\boxed{\text{ケ}}}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}\text{サ}}}{t^2}})$

であり，$C_1\text{，}{C}_2\text{，}{C}_3$で囲まれる部分の面積$S(t)$は

$S(t)=t+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{t}}$

である．$t$が$t>0$の範囲を動くときの$S(t)$の最小値は，$\boxed{\text{ス}}\sqrt{\boxed{\text{セ}}}$である．また，$t=4$のとき，$C_2\text{，}{C}_3$の共通接線と$C_1$で囲まれる部分の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}}\sqrt{\boxed{\text{チ}}}$である．

【４】　$a$は定数として，$\theta$に関する方程式

$\sin 3\theta -3\sin \theta +a{\cos }^2\theta -5=0\cdots \text{①}$

について考える．ただし，$0\leqq \theta <2\pi$とする．

(1)　$\sin \theta =x$とおくと，方程式$\text{①}$は$x$に関する$3$次方程式

$\boxed{\text{ツ}}{x}^3+a{x}^2-a+\boxed{\text{テ}}=0\cdots \text{②}$

に書きかえられる．ただし，$-1\leqq x\leqq 1$である．

(2)　$\text{②}$の左辺を$f(x)$とおくと，$-6<a<0$ならば，$-1\leqq x\leqq 1$の範囲では，$f(x)$は$x=-{\displaystyle \frac{a}{\boxed{\text{ト}}}}$のとき極小値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}\text{ヌ}\text{ネ}}}}{a}^3-a+\boxed{\text{ノ}}$をとる．

(3)　定数$a$の値に応じて，方程式$\text{②}$の$-1\leqq x\leqq 1$における異なる実数解の個数は

$a<\boxed{\text{ハ}}$のとき$0$個

$a=\boxed{\text{ハ}}$のとき$1$個

$a>\boxed{\text{ハ}}$のとき$2$個

であることがわかる．したがって，方程式$\text{①}$の$0\leqq \theta <2\pi$における解の個数は

$a<\boxed{\text{ハ}}$のとき$\boxed{\text{ヒ}}$個

$a=\boxed{\text{ハ}}$のとき$\boxed{\text{フ}}$個

$a>\boxed{\text{ハ}}$のとき$\boxed{\text{ヘ}}$個

である．

【５】　$n$を自然数として，正方形を縦と横にそれぞれ$n$等分して$n^2$個の小正方形に分けたものを考える．このとき，次の$3$条件を満たすように$n^2$個の小正方形のそれぞれに$0$か$1$を書き入れることを考える（右図は$n=5$の場合の例である．

(条件１)　各行（横の並び）の$n$個の小正方形に記された数のうちちょうど一つが$1$

(条件２)　各列（縦の並び）の$n$個の小正方形に記された数のうちちょうど一つが$1$

(条件３)　$0\text{，}1$の配置は，大きな正方形の左上から右下に向かう対角線に関して対称

これらの条件を満たす$0\text{，}1$の書き入れ方の総数は，$n=3$から$n=7$までの各場合について次のとおりである．

$n=3$のとき$\boxed{\text{ホ}}$通り

$n=4$のとき$\boxed{\text{マ}\text{ミ}}$通り

$n=5$のとき$\boxed{\text{ム}\text{メ}}$通り

$n=6$のとき$\boxed{\text{モ}\text{ヤ}}$通り

$n=7$のとき$\boxed{\text{ユ}\text{ヨ}\text{ラ}}$通り