2010　東京理科大学　理学部B方式2月12日実施MathJax

【１】　$\boxed{}$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数を解答用マークシートにマークせよ．

(1)　$xy$平面において，$y^2=x^2(x+1)$を満たす点$(x,y)$の全体は右の図のような曲線になる．この曲線を$C$とする．また，中心を$(a,0)\text{，}$半径を$r$とする円$D$は不等式$x\leqq 0$の表す領域に含まれ，円$D$と曲線$C$とは点$(-1,0)$を含むちょうど$3$点を共有している．このとき

$a=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\text{，}r={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$

である．

【１】　$\boxed{}$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数を解答用マークシートにマークせよ．

(2)

(a)　$x^2-2xy+2y^2-6x+18=0$を満たす実数$x\text{，}y$の組は，

$(x,y)=(\boxed{\text{オ}},\boxed{\text{カ}})$

である．

【１】　$\boxed{}$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数を解答用マークシートにマークせよ．

(2)

(b)　$kl+k-2l-9=0$を満たす整数$k\text{，}l$の組は，$k$の値が大きい順に，

$(k,l)=(\boxed{\text{キ}},\boxed{\text{ク}})\text{，}(\boxed{\text{ケ}},\boxed{\text{コ}})\text{，}(\boxed{\text{サ}},\boxed{\text{シ}})\text{，}$

$(-\boxed{\text{ス}},-\boxed{\text{セ}})$

である．これを用いると，$(m+2n)(2m-n)-3m+4n-9=0$を満たす整数$m\text{，}n$の組は，

$(m,n)=(\boxed{\text{ソ}},\boxed{\text{タ}})\text{，}(-\boxed{\text{チ}},\boxed{\text{ツ}})$

であることがわかる．

【１】　$\boxed{}$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数を解答用マークシートにマークせよ．

(3)　座標空間において，$2$定点$\mathrm{A}(2,1,2)\text{，}\mathrm{B}(-1,-2,-2)$と，平面$z=1$上の動点$\mathrm{P}$がある．点$\mathrm{P}$から$xy$平面に下ろした垂線と$xy$平面との交点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{P}$が平面$z=1$上を動くとき，$\mathrm{AP}+\mathrm{PQ}+\mathrm{QB}$は点$\mathrm{P}$の座標が$(\boxed{\text{テ}},\boxed{\text{ト}},\boxed{\text{ナ}})$のとき最小値$\boxed{\text{ニ}}+\boxed{\text{ヌ}}\sqrt{\boxed{\text{ネ}}}$をとる．

【１】　$\boxed{}$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数を解答用マークシートにマークせよ．

(4)　$x\text{，}y\text{，}\alpha \text{，}\beta$が次の等式を満たすとき，$x=\boxed{\text{ノ}}\text{，}y=\boxed{\text{ハ}}\text{，}\alpha =\boxed{\text{ヒ}}\text{，}\beta =-\boxed{\text{フ}}$である．

$\left(\begin{array}{cc}{\log }_{2}x& -2\\ 1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2{\log }_{2}y& {\log }_2{\displaystyle \frac{x^2}{y^3}}\\ {\log }_{2}xy& 2{\log }_{4}y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\alpha & \beta \\ 14& 4\end{array}\right)$

【２】　$t$を正の実数とすると，$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面において，放物線

$C_1:y=x^2$

と，$x$軸に平行な直線

$l:y=t^2$

は$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$で交わる．ただし，$\mathrm{P}$の$x$座標は負で，$\mathrm{Q}$の$x$座標は正であるとする．さらに，線分$\mathrm{PQ}$を直径とする円を$C_2$とする．そして，不等式$y\leqq x^2$の表す領域と，円$C_2$の内部（境界も含む）との共通部分を$D(t)$とし，その面積を$S(t)$とする．このとき次の問いに答えよ．

(1)　円$C_2$の方程式を求めよ．

(2)　放物線$C_1$と円$C_2$の共有点の個数を$t$の値で場合分けして求めよ．

(3)　$0<t<1$のとき，$S(t)$を求めよ．

(4)　$t$が$0<t<1$の範囲を動くときの$S(t)$の最大値を求めよ．

(5)　$t>1$のとき，$y$軸に平行な直線$x=c$が領域$D(t)$の第$1$象限の部分と交わるような定数$c$の範囲は，$t$のある式$\alpha (t)\text{，}\beta (t)$によって$\alpha (t)\leqq c\leqq \beta (t)$で表される．$\alpha (t)\text{，}\beta (t)$を求めよ．また，$\alpha (t)\leqq c\leqq \beta (t)$を満たす$c$に対して，直線$x=c$と領域$D(t)$の交わりとなる線分の長さは${\displaystyle \frac{1}{4}}$以下であることを示せ．

(6)　$t>1$のとき$tS(t)\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$が成り立つことを示せ．

【３】　$xy$平面において，直線

$l:x=2$

と曲線

$C:y=x^3-2x-2$

を考える．このとき次の問いに答えよ．

(1)　各実数$a$に対して，点$(2,a)$を通る曲線$C$の接線の本数を求めよ．

(2)　さいころを投げて直線$l$上の点$\mathrm{A}$を次の規則に従って動かすものとする．

(ⅰ)　$4$以下の目が出た場合は，直線$l$上の，$y$座標が$1$だけ大きい点に移動する．

(ⅱ)　$5$または$6$の目が出た場合は動かさない．

　$\mathrm{A}$が最初は点$(2,0)$にあったとして，次の問いに答えよ．

(a)　$n$を自然数，$k$を$0\leqq k\leqq n$を満たす整数とするとき，$n$回さいころを投げた後に点$\mathrm{A}$が点$(2,k)$にある確率$p_n(k)$を求めよ．

(b)　自然数$n$に対して，$n$回さいころを投げた後の点$\mathrm{A}$を通る曲線$C$の接線の本数の期待値$E_n$を求めよ．

(c)　$E_n$を(b)で定めたものとするとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{E}_n$を求めよ．ただし必要ならば$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{n^2}{3^n}}=0$ということを用いてよい．