2010　東京理科大学　理学部数学科2月12日実施MathJax

【１】　答のみを簡単な形に整理して解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(1)　$xy$平面において，点$\mathrm{A}$は曲線$y={\displaystyle \frac{1}{x}}$の$x>0$の部分を動き，点$\mathrm{B}$は曲線$y={\displaystyle \frac{1}{x}}$の$x<0$の部分を動くものとする．点$\mathrm{A}$の$x$座標を$a\text{，}$点$\mathrm{B}$の$x$座標を$b$とするとき，次の問いに答えよ．

(a)　点$\mathrm{A}$を固定したとき，点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$の距離が最小となるような$b$を，$a$を用いて表せ．

(b)　(a)で求めた$b$に対して，$a-b$はある$a$で最小値$m$をとる．その最小値をとるときの$a$の値を求めよ．

(c)　(b)における$m$に対して，$m^4$が有理数かどうかを判定し，無理数ならば解答欄に「無理数」と記入し，有理数ならばそれを既約分数の形で解答欄に記入せよ．

【１】　答のみを簡単な形に整理して解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(2)　$xy$平面において，$x^4+y^4=2xy$を満たす点$(x,y)$の全体は右図のような曲線$C$となる．

(a)　曲線$C$上の$(0,0)$以外の点$(x,y)$の極座標を$(r,\theta )$とするとき，$r^2$を$\sin 2\theta$の式で表せ．

(b)　点$(x,y)$が曲線$C$上を動くときの${(x-y)}^2$の最大値を求めよ．ただし，最大値を与える$x\text{，}y$の値を答える必要はない．

【１】　答のみを簡単な形に整理して解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(3)　$n$を自然数とし，$l$を$n$以下の自然数とするとき，次の問いに答えよ．なお，以下において$k=0$のときの${(1+x)}^k$と$x^k$は定数$1$を表すものとする．

(a)　${\displaystyle \sum _{k=0}^n}{(1+x)}^k$を$x$の多項式として整理したときの$x^l$の係数を，ただ一つの二項係数を含む式で表せ．

(b)　${\displaystyle \sum _{k=0}^n}{x}^{n-k}{(1+x)}^k$を$x$の多項式として整理したときの$x^l$の係数を，ただ一つの二項係数を含む式で表せ．

【１】　答のみを簡単な形に整理して解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(4)　次の問いに答えよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(a)　次の極限値を求めよ．

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{k}{n^2}}\log \left({\displaystyle \frac{n+k}{n}}\right)$

【１】　答のみを簡単な形に整理して解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(4)　次の問いに答えよ．

(b)　次の積分の値を求めよ．

${\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{2x+2}{x^2+x+1}}dx$

【２】　$xy$平面における放物線$y=x^2$を$C$とする．また，実数$a\text{，}b$に対して定まる放物線$x={(y-a)}^2+b$を$C_{a,b}$とする．このとき次の性質(＊)を持つような数$A$がただ一つ定まる．

(＊)　$\{\begin{array}{l}0<a<A\text{ならばすべての実数}b\text{に対して}C\text{と}{C}_{a,b}\text{の共有点は}2\text{個以下，}\\ a>A\text{ならばある実数}b\text{に対して}C\text{と}{C}_{a,b}\text{の共有点は}3\text{個以上となる．}\end{array}$

一般に，$C$と$C_{a,b}$の共有点の$x$座標は方程式$x={(x^2-a)}^2+b$の解であることに注意し，次のように考察を進めて$A$を求めよ．ただし一般に関数$f(x)$の導関数を$f^{\prime }(x)$で表す．

(1)　$a>0$として，$x$の関数$y={(x^2-a)}^2$のグラフの概形を描け．

(2)　$a>0\text{，}b$は実数として$g(x)={(x^2-a)}^2+b-x$とおく．このとき，$y=g^{\prime }(x)$のグラフの概形を，$x$が$\pm \sqrt{a}$および$0$のときの値に注意しながら，$g^{\prime }(x)=0$をみたす実数$x$の個数が$1$個と$3$個の場合に分けて描け．ただし，$g^{\prime }(x)=0$をみたす実数$x$は必ず存在するので，そのうちの最大のものを$x_1$として，グラフにその位置を記入せよ（$x_1$を具体的な式で表示する必要はない）．

(3)　$a>0$として$f(x)={(x^2-a)}^2$とおく．このとき，$-\sqrt{a}<x_0<0$をみたすある$x_0$において$f^{\prime }(x_0)>1$となるならば，$xy$平面において，直線$y=x-x_0+f(x_0)$と曲線$y=f(x)$は$x_0<x<\sqrt{a}$の範囲に必ず共有点を持つことを証明せよ．（ヒント：関数$h(x)=f(x)-\{x-x_0+f(x_0)\}={(x^2-a)}^2+\{x_0+f(x_0)\}-x$を考える．）

(4)　$A$を求めよ．また，その$A$が性質(＊)を持つことを証明せよ．