2010　東京理科大学　理学部B方式2月13日実施MathJax

【１】　次の(1)から(3)において，$\boxed{}$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数を解答用マークシートの所定欄にマークせよ．

(1)　$A=\left(\begin{array}{cc}5& 3\\ 3& 2\end{array}\right)\text{，}E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$とする．

(a)　$A^2=\boxed{\text{ア}}A-\boxed{\text{イ}}E$である．

(b)　${(A-sE)}^2=tA$をみたす実数$s\text{，}t$は$s=\boxed{\text{ウ}}\text{，}t=\boxed{\text{エ}}$または$s=-\boxed{\text{ウ}}\text{，}t=\boxed{\text{オ}}$である．

(c)　$p=\boxed{\text{カ}}\text{，}q=\boxed{\text{キ}}\text{，}r=\boxed{\text{ク}}$のとき，$p\geqq 0\text{，}pq-r^2\geqq 0$であり，また${\left(\begin{array}{cc}p& r\\ r& q\end{array}\right)}^2=A$が成り立つ．

【１】　次の(1)から(3)において，$\boxed{}$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数を解答用マークシートの所定欄にマークせよ．

(2)　$S(a)={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}|a\cos x-\sin x|dx\text{（}a>0\text{）}$とするとき，

$S(\sqrt{3})=\boxed{\text{ケ}}-\sqrt{\boxed{\text{コ}}}$

であり，一般に

$S(a)=\sqrt{\boxed{\text{サ}}{a}^2+\boxed{\text{シ}}}-(\boxed{\text{ス}}a+\boxed{\text{セ}})$

となる．

【１】　次の(1)から(3)において，$\boxed{}$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数を解答用マークシートの所定欄にマークせよ．

(3)　関数$f(x)\text{（}x>0\text{）}$を

$f(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{{(7x+6)}^n+{(9x)}^n}$

により定める．「正の実数$a$に対して$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{a}=1$」ということなどから，$0<x\leqq \boxed{\text{ソ}}$のときは$f(x)=\boxed{\text{タ}}x+\boxed{\text{チ}}$であり，$x>\boxed{\text{ソ}}$のときは$f(x)=\boxed{\text{ツ}}x+\boxed{\text{テ}}$であることがわかる．

【２】　$2$つの数列$\{x_n\}\text{，}\{y_n\}$を以下のように定める．

このとき次の問いに答えよ．

(1)　$y_n-x_n$を$n$の式で表せ．

(2)　すべての自然数$n$に対して${x_n}^2\leqq 2<{y_n}^2$となることを，数学的帰納法によって説明せよ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n$と$\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n$を求めよ．

【３】　図のように，座標平面上で半径$r\text{（}0<r<1\text{）}$の円$C_1$が，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C_2$に内接しながらすべらずにころがる．ただし円$C_1$の中心$\mathrm{C}$は原点のまわりを反時計回りに動くものとする．このとき，円$C_1$の周上に固定された点$\mathrm{A}$が描く曲線を考えよう．最初に点$\mathrm{A}$は点$\mathrm{B}(1,0)$の位置にあるものとする．

　円$C_1\text{，}{C}_2$の接点を$\mathrm{M}$とする．このとき点$\mathrm{M}$は円$C_1$の周上を半直線$\mathrm{CA}$を基準として反時計まわりに動く．この動径$\mathrm{CM}$の始線$\mathrm{CA}$からの回転角を$s$とする．また点$\mathrm{M}$は円$C_2$の周上を反時計まわりに動く．この動径$\mathrm{OM}$の始線$\mathrm{OB}$からの回転角を$t$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{CM}}=(p,q)$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{CA}}$を$p\text{，}q\text{，}s$を用いて成分で表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$を$r\text{，}t$を用いて成分で表せ．

(3)　$r={\displaystyle \frac{1}{2}}$とする．点$\mathrm{A}$が点$\mathrm{B}$の位置に初めて戻るまでに描く曲線の概形を図示せよ．

(4)　$r={\displaystyle \frac{1}{4}}$とする．点$\mathrm{A}$が点$\mathrm{B}$の位置に初めて戻るまでに描く曲線で囲まれた図形の面積を求めよ．