2010　東京理科大学　理学部情報数理学科2月13日実施MathJax

【１】　次の問いに答えよ．必要ならば「正の実数$a$に対して$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}^{\frac{1}{n}}=1$」ということを用いてもよい．

(1)　$0<a<b\text{，}0<c<1$であるような実数$a\text{，}b\text{，}c$に対して，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\{b^n-c\cdot {(-a)}^n\}}^{\frac{1}{n}}$を$b$のみを用いて表せ．

(2)　$1$枚の硬貨を$n$回投げるとき，「$2$回連続で裏が出る」ことがない確率を$P_n$とする．ただし$P_1=1$とする．また，硬貨を投げて表と裏が出る確率は等しいものとする．

(a)　$P_2\text{，}{P}_3$の値を求めよ．

(b)　$P_{n+2}=s{P}_{n+1}+t{P}_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$をみたす実数$s\text{，}t$を求めよ．

　以下では，$\alpha \text{，}\beta$は，(b)で求めた$s\text{，}t$に対して$\alpha +\beta =s\text{，}\alpha \beta =-t$をみたす，$\alpha <\beta$であるような実数とする．

(c)　$\alpha \text{，}\beta \text{，}n$を用いて$P_n$を表せ．

(d)　$\alpha \text{，}\beta$の値を求めよ．

(e)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{P_n}^{\frac{1}{n}}$の値を求めよ．

【２】　$f(x)=x^3-x^2-4x-1$とおく．

(1)　方程式$f(x)=0$の正の実数解と負の実数解はそれぞれいくつあるか答えよ．

(2)　方程式$f(x)=0$のすべての実数解$a$に対して$f(x)=(x-a)\{x^2+g(a)x+h(a)\}$が成り立つような，$2$次以下の整式$g(t)$と$h(t)$を求めよ．

(3)　$a$を方程式$f(x)=0$の実数解とするとき，$a^2-2a-2$と$-a^2+a+3$もまた方程式$f(x)=0$の解であることを示せ．

(4)　$a$を方程式$f(x)=0$の最大の実数解であるとするとき，$a^2-2a-2$と$-a^2+a+3$の符号はそれぞれ正，負のどちらかであるか，理由も含めて答えよ．