2010　東京理科大学　全学部C日程2月18日実施MathJax

【１】　$a\text{，}b$を実数として，関数$f(\theta )=a{\cos }^2\theta +(a+b)\sin \theta \cos \theta -b{\sin }^2\theta$を考える．$f(\theta )$の最大値が$7+\sqrt{6}\text{，}$最小値が$7-\sqrt{6}$であるとして，定数$a$と$b$の値を求めると

である．$a+b=0$の場合は，$f(\theta )$の最大値が$7+\sqrt{6}\text{，}$最小値が$7-\sqrt{6}$であるような$a$と$b$は存在しない．

(あ)，(い)，(う)，(え)の解答群

• １　$7+\sqrt{2}$
• ２　$7-\sqrt{2}$
• ３　$-7+\sqrt{2}$
• ４　$-7-\sqrt{2}$
• ５　$7+\sqrt{3}$
• ６　$7-\sqrt{3}$
• ７　$-7+\sqrt{3}$
• ８　$-7-\sqrt{3}$

【２】　行列$X=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& a\end{array}\right)\text{，}Y=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)\text{，}E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$とする．ただし$a\text{，}b$は$0$でない定数とする．

(1)　$Y^2=\left(\begin{array}{cc}\boxed{\text{ア}}& \boxed{\text{イ}}\\ \boxed{\text{ウ}}& \boxed{\text{エ}}\end{array}\right)$である．

(2)　$X=aE+bY$であるから，$X^2=\boxed{\text{オ}}{a}^{2}E+\boxed{\text{カ}}abY$である．

(3)　$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対し，$X^n=\boxed{\text{キ}}{a}^{n}E+\boxed{\text{ク}}n{a}^{n-1}bY$である．

(4)　$a=-1\text{，}b=1$とし

${\displaystyle \frac{1}{2n+1}}(E+X+X^2+X^3+\cdots +X^{2n})=\left(\begin{array}{cc}{s}_{2n}& t_{2n}\\ u_{2n}& v_{2n}\end{array}\right)$

とおくと

$\underset{n\to \infty }{\lim }{s}_{2n}=\boxed{\text{ケ}}\text{，}\underset{n\to \infty }{\lim }{t}_{2n}=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}\text{，}\underset{n\to \infty }{\lim }{v}_{2n}=\boxed{\text{シ}}$

である．また

${\displaystyle \frac{1}{2n+2}}(E+X+X^2+X^3+\cdots +X^{2n+1})=\left(\begin{array}{cc}{s}_{2n+1}& t_{2n+1}\\ u_{2n+1}& v_{2n+1}\end{array}\right)$

とおくと

$\underset{n\to \infty }{\lim }{s}_{2n+1}=\boxed{\text{ス}}\text{，}\underset{n\to \infty }{\lim }{t}_{2n+1}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}\text{，}\underset{n\to \infty }{\lim }{v}_{2n+1}=\boxed{\text{タ}}$

である．

【３】(1)　赤，青，緑，黄の$4$色で正四面体の各面を塗り分ける．回転してすべての面の色の配置が同じになれば同じ塗り方とみなすと，$\boxed{\text{ア}}$通りの塗り方がある．

(2)　赤，青，緑，黄，茶の$5$色から$4$色選んで(1)と同様に正四面体の各面を塗り分けるとき，$\boxed{\text{イ}\text{ウ}}$通りの塗り方がある．

(3)　(2)と同じ$5$色で底面が正三角形の三角柱の各面を塗り分ける．回転してすべての面の色の配置が同じになれば同じ塗り方とみなすと，$\boxed{\text{エ}\text{オ}}$通りの塗り方がある．

(4)　赤，青，緑，黄，茶，橙の$6$色で，立方体の各面を塗り分ける．回転してすべての面の色の配置が同じになれば同じ塗り方とみなすと，$\boxed{\text{カ}\text{キ}}$通りの塗り方がある．

【４】　連立方程式

$\begin{array}{ll}9x^2+16y^2=24xy+3x-4y+2& \cdots \text{①}\\ 8x+7y=68& \cdots \text{②}\end{array}$

を解こう．

　まず，$\text{①}$は，${(\boxed{\text{ア}}x-\boxed{\text{イ}}y)}^2=\boxed{\text{ア}}x-\boxed{\text{イ}}y+2$と変形されるから

$\boxed{\text{ア}}x-\boxed{\text{イ}}y=\boxed{\text{ウ}}$または$\boxed{\text{ア}}x-\boxed{\text{イ}}y=-\boxed{\text{エ}}$

を得る．$\boxed{\text{ア}}x-\boxed{\text{イ}}y=\boxed{\text{ウ}}$と$\text{②}$より

$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}\text{カ}\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}\text{ケ}}}}\text{，}y={\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}\text{サ}\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}\text{セ}}}}$

を得る．また，$\boxed{\text{ア}}x-\boxed{\text{イ}}y=-\boxed{\text{エ}}$と$\text{②}$より

$x=\boxed{\text{ソ}}\text{，}y=\boxed{\text{タ}}$

を得る．

【５】　$2$つの数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$は，$a_1=2\text{，}{b}_1=-1$であり，$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対し

$\begin{array}{ll}{a}_{n+1}=3a_n-b_n+3^n+n{2}^n& \cdots \text{①}\\ b_{n+1}=-a_n+3b_n-3^n+n{2}^n& \cdots \text{②}\end{array}$

を満たすとする．一般項$a_n\text{，}{b}_n$を求めよう．

$\text{①}$と$\text{②}$より，$a_{n+1}+b_{n+1}=\boxed{\text{ア}}(a_n+b_n)+n{(\boxed{\text{ア}})}^{n+1}$となる．よって

${\displaystyle \frac{a_{n+1}+b_{n+1}}{{(\boxed{\text{ア}})}^{n+1}}}={\displaystyle \frac{a_n+b_n}{{(\boxed{\text{ア}})}^n}}+n$

を得る．これを解いて

${\displaystyle \frac{a_n+b_n}{{(\boxed{\text{ア}})}^n}}={\displaystyle \frac{a_1+b_1}{{(\boxed{\text{ア}})}^n}}+1+2+\cdots +(n-1)$

よって

$a_n+b_n=(\boxed{\text{イ}}{n}^2-\boxed{\text{ウ}}n+\boxed{\text{エ}}){\boxed{\text{オ}}}^{n-1}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}\cdots \text{③}$

同様に$\text{①}$と$\text{②}$より，$a_{n+1}-b_{n+1}=\boxed{\text{カ}}(a_n-b_n)+2{(\boxed{\text{キ}})}^n$となる．よって

を得る．これを解いて

${\displaystyle \frac{a_n-b_n}{{(\boxed{\text{キ}})}^n}}=\boxed{\text{シ}}{\left({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}\right)}^{n-1}-\boxed{\text{ソ}}$

よって

$a_n-b_n=\boxed{\text{タ}}{(\boxed{\text{チ}})}^{n-1}-\boxed{\text{ツ}}{(\boxed{\text{テ}})}^n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}\cdots \text{④}$

$\text{③}$と$\text{④}$より，次を得る．

$a_n=(\boxed{\text{ト}}{n}^2-\boxed{\text{ナ}}n+\boxed{\text{ニ}}){\boxed{\text{ヌ}}}^{n-2}+\boxed{\text{ネ}}{(\boxed{\text{ノ}})}^{2n-3}-{(\boxed{\text{ハ}})}^n$

$b_n=(\boxed{\text{ト}}{n}^2-\boxed{\text{ナ}}n+\boxed{\text{ニ}}){\boxed{\text{ヌ}}}^{n-2}-\boxed{\text{ネ}}{(\boxed{\text{ノ}})}^{2n-3}+{(\boxed{\text{ハ}})}^n$

【６】　$e$は自然対数の底を表すものとして，関数$f(x)$を

$f(x)=\sqrt{(x^2-2x+1)(e^x+e^{-x}+2)}+\sqrt{(x^2+2x+1)(e^x+e^{-x}-2)}$

と定める．$f(x)$を$x$の値に応じて整理すると

$f(x)=\{\begin{array}{ll}\boxed{\text{(あ)}}-\boxed{\text{(い)}}& \text{（}x<-1\text{）}\\ \boxed{\text{(う)}}-\boxed{\text{(え)}}& \text{（}-1\leqq x<0\text{）}\\ \boxed{\text{(お)}}-\boxed{\text{(か)}}& \text{（}0\leqq x<1\text{）}\\ \boxed{\text{(き)}}-\boxed{\text{(く)}}& \text{（}1\leqq x\text{）}\end{array}$

となる．

(あ)，(い)，(う)，(え)，(お)，(か)，(き)，(く)の解答群

• １　$2e^x$
• ２　$2e^{-x}$
• ３　$2x{e}^x$
• ４　$2x{e}^{-x}$
• ５　$2e^{\frac{x}{2}}$
• ６　$2e^{-\frac{x}{2}}$
• ７　$2x{e}^{\frac{x}{2}}$
• ８　 $2x{e}^{-\frac{x}{2}}$

また

${\displaystyle {\int }_{-1}^1}f(x)dx=\boxed{\text{ア}}{e}^{\frac{\boxed{\text{イ}}}{\boxed{\text{ウ}}}}-\boxed{\text{エ}}$

${\displaystyle {\int }_{-2}^2}f(x)dx=\boxed{\text{オ}\text{カ}}{e}^{\frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}-\boxed{\text{ケ}}$

である．