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2010-13460-0101
2010 東邦大学 理学部A日程
1月28日実施
【1】で配点40点
易□ 並□ 難□
【1】 次の に適する解答を,解答用紙の決められた場所に記入せよ.
(ⅰ) 3 つの実数 333 , 274 , log3⁡ 243 のうちで最大のものは ア である.
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(ⅱ) 2 次方程式 x2 +a⁢x +2=0 が絶対値が 1 以下の実数解をただ 1 つもつための必要十分条件は | a| ≧ イ である.
2010-13460-0103
(ⅲ) 連続する 15 個の自然数の合計が 2010 であるとき,その 15 個の自然数のうち最小のものは ウ で,最大のものは エ である.
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(ⅳ) 四角形 ABCD において AD の中点を P ,BC の中点を Q したとき, PQ→ = オ ⁢( AB→ +DC→ ) である.
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(ⅴ) 3 次関数 f⁡ (x)= x3+a ⁢x2 +5⁢x -2 は x= -1 で極値をとるとき a= カ であり,そのとき f⁡ (x) はもう 1 つの極値を x= キ でとる.
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配点30点
(ⅵ) 定積分 ∫-1 3⁡ x| x-2 | ⁢dx の値は ク である.
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【2】 2 つの放物線 C1 :y= x2+1 と C2 :y=2 ⁢x2 , および放物線 C1 上の点 ( a,a2 +1 ) における接線 la を考える.次の問いに答えよ.
(ⅰ) 接線 la の方程式を求めよ.
(ⅱ) la が C2 と相異なる 2 点で交わるときの実数 a の範囲を求めよ.
(ⅲ) a が(ⅱ)の範囲にあるとき, la と C2 の 2 つの交点 P ,Q の座標を求めよ.ただし, x 座標の小さい方を P とする.
(ⅳ) a が(ⅱ)の範囲を動くとき,線分 PQ の長さの最大値を求めよ.
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【3】 図のように,一辺の長さが 2 の正三角形 ABC を頂点 A が対辺 BC 上の点 A′ となるように,辺 AB 上の点 P と辺 AC 上の点 Q を折り目の端にして折り曲げる.
∠BA A′= θ (0 °≦θ ≦60° ) として次の問いに答えよ.
(ⅰ) ∠AA ′B を θ を用いて表せ.
(ⅱ) 線分 AA ′ の長さを θ の式で表せ.
(ⅲ) 線分 AP の長さを θ の式で表せ.
(ⅳ) 線分 AP の長さの最小値と,最小値を与える θ の値を求めよ.