2010　東邦大学　医学部医学科MathJax

【１】　以下の各問に答えよ．解答は解答用マークシートに記入せよ．

(1)　$x$の整式$P(x)$を${(x-1)}^3$で割ったときの余りが$-2x^2+x$であった．$P(x)$を${(x-1)}^2$で割ったときの余りは，$\boxed{\text{アイ}}x+\boxed{\text{ウ}}$である．

【１】　以下の各問に答えよ．解答は解答用マークシートに記入せよ．

(2)　$3$辺の長さがそれぞれ$5\text{，}5\text{，}6$の三角形に内接する円の半径は，${\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}$である．

【１】　以下の各問に答えよ．解答は解答用マークシートに記入せよ．

(3)　曲線$y=\log x$上の点と直線$y=x+2$上の点との距離の最小値は，${\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}\sqrt{\boxed{\text{キ}}}}{\boxed{\text{ク}}}}$である．

【１】　以下の各問に答えよ．解答は解答用マークシートに記入せよ．

(4)　$1$から$5$までの数字が書かれた$5$枚のカードを横一列に並べたとき，左から$i$番目のカードに書かれた数字を$a_i$で表す$\text{（}i=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}5\text{）．}$すべての並べ方の中で，$a_i=i$となるカードがちょうど$2$枚含まれるような並べ方は，全部で$\boxed{\text{ケコ}}$通りである．

【１】　以下の各問に答えよ．解答は解答用マークシートに記入せよ．

(5)　行列$A\text{，}B$について，$A-B=\left(\begin{array}{cc}0& 3\\ 1& -1\end{array}\right)\text{，}A+B=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$であるとき，$A^2-B^2=\left(\begin{array}{cc}\boxed{\text{サ}}& \boxed{\text{シ}}\\ \boxed{\text{ス}}& \boxed{\text{セ}}\end{array}\right)$である．

【１】　以下の各問に答えよ．解答は解答用マークシートに記入せよ．

(6)　$k$を定数とし，$x$についての方程式$k(x+3)+1=\sqrt{x}$が実数解をもつとする．このとき，$k$の最小値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソタ}}}{\boxed{\text{チ}}}}$である．

【１】　以下の各問に答えよ．解答は解答用マークシートに記入せよ．

(7)　平面上の$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$が，$|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}|=1\text{，}$$|-3\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=1$を同時に満たしながら変化するとき，$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$の最大値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}}$である．

【１】　以下の各問に答えよ．解答は解答用マークシートに記入せよ．

(8)　$x$軸上に中心をもつ半径$6$の円が，第$1$象限内の点$\mathrm{P}$において，放物線$y=x^2$と接している．すなわち，円と放物線はともに点$\mathrm{P}$を通り，かつ点$\mathrm{P}$において共通の接線をもつ．このとき，この円の中心の$x$座標は$\boxed{\text{ト}}\sqrt{\boxed{\text{ナ}}}$である．

【１】　以下の各問に答えよ．解答は解答用マークシートに記入せよ．

(9)　数列$\{a_n\}$が$a_1=1\text{，}{a}_2=3\text{，}{a}_{n+2}=6a_{n+1}-5a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を満たすとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{a_n}{a_{n+1}}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}$である．

【１】　以下の各問に答えよ．解答は解答用マークシートに記入せよ．

(10)　三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=2\text{，}\mathrm{AC}=1\text{，}\mathrm{BC}=\sqrt{6}$である．$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とする．このとき，$\mathrm{AD}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ネ}}}}{\boxed{\text{ノ}}}}$である．

【２】　以下の問題に対して，解答用紙の該当する欄に途中の経過と解を記入すること．

　$r$を正の定数とする．$xy$平面上を時刻$t=0$から$t=\pi$まで運動する点$\mathrm{P}(x,y)$の座標が

$x=2r(t-\sin t\cos t)$

$y=2r{\sin }^{2}t$

であるとき，以下の各問に答えよ．

(1)　正弦についての$2$倍角の公式を，解答欄に記入せよ（途中の経過は必要ない）．

(2)　点$\mathrm{P}$が描く曲線の概形を，$xy$平面上にかけ．

(3)　点$\mathrm{P}$の時刻$t$における加速度の大きさを，$r$を用いて表せ．

(4)　点$\mathrm{P}$が時刻$t=0$から$t=\pi$までに動く道のり$S$は，

$S={\displaystyle {\int }_0^{\pi }}\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{dx}{dt}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{dy}{dt}}\right)}^2}dt$

で与えられる．このとき，$S$の値を求めよ．

(5)　点$\mathrm{P}$が描く曲線と$x$軸で囲まれた部分を，$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．