2010　東邦大学　医学部看護学科MathJax

【１】　以下の各問に答えよ．（結果のみ答えよ）

(1)　$(y-z)x-y+z$を因数分解せよ．

【１】　以下の各問に答えよ．（結果のみ答えよ）

(2)　$2$次方程式${(x-2)}^2-3(x-2)+2=0$を解け．

【１】　以下の各問に答えよ．（結果のみ答えよ）

(3)　放物線$y=x^2+1$に直線$y=\sqrt{6}x+n$が接している．定数$n$の値を求めよ．

【１】　以下の各問に答えよ．（結果のみ答えよ）

(4)　$7-4\sqrt{3}=(p-q\sqrt{3})(2-\sqrt{3})$を満たす整数$p\text{，}q$を求めよ．

【１】　以下の各問に答えよ．（結果のみ答えよ）

(5)　$2$次不等式$x^2-8x+10<0$を満たす整数は全部で何個あるか．

【１】　以下の各問に答えよ．（結果のみ答えよ）

(6)　$\mathrm{AB}=1\text{，}\mathrm{BC}=2\text{，}\mathrm{CA}=\sqrt{7}$である$▵\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．

【１】　以下の各問に答えよ．（結果のみ答えよ）

(7)　${(1+0.001)}^2-{(1-0.001)}^2$を計算せよ．

【１】　以下の各問に答えよ．（結果のみ答えよ）

(8)　$a\text{，}b$を実数とする．$a^2>b^2$であることは$a^3>b^3$であるための何条件か．

　次のA，B，C，Dの中から$1$つ選び記号で答えよ．

A　必要条件だが十分条件ではない

B　十分条件だが必要条件ではない

C　必要十分条件である

D　必要条件でも十分条件でもない

【２】　以下の各問に答えよ．（結果のみ答えよ）

(1)　$\mathrm{AB}=\sqrt{3}\text{，}\mathrm{BC}=1\text{，}\mathrm{CA}=\sqrt{2}$である$▵\mathrm{ABC}$の外接円の半径$R$を求めよ．

【２】　以下の各問に答えよ．（結果のみ答えよ）

(2)　${}_{6}C_1-{}_{6}C_2+{}_{6}C_3-{}_{6}C_4+{}_{6}C_5-2$を計算せよ．

【２】　以下の各問に答えよ．（結果のみ答えよ）

(3)　$3$人でじゃんけんを$1$回行う．あいことなって一人も勝たない確率を求めよ．

【２】　以下の各問に答えよ．（結果のみ答えよ）

(4)　$3m+5n=1$を満たす整数$m\text{，}n$の中で，$|m+n|$を最小にする$(m,n)$の組をすべて求めよ．ただし$||$は絶対値記号とする．

【２】　以下の各問に答えよ．（結果のみ答えよ）

(5)　定数$a$は，$a<0$とする．

　$2$次関数$f(x)=ax(x-b)$は区間$1\leqq x\leqq 3$で最大値$3\text{，}$最小値$0$をとる．定数$a\text{，}b$の値を求めよ．

【３】　図のように$1$辺の長さが$12$の正方形$\mathrm{OABC}$がある．

　$3$辺$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$を次の条件を満たすようにそれぞれとる．

$\mathrm{OD}:\mathrm{DA}=1:5\text{，}\mathrm{AE}:\mathrm{EB}=1:2\text{，}\mathrm{BF}:\mathrm{FC}=1:1$

　また，$\mathrm{OE}$と$\mathrm{DB}$の交点を$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{OE}$と$\mathrm{AF}$の交点を$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{DB}$と$\mathrm{AF}$の交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，直線$\mathrm{CQ}$は線分$\mathrm{AE}$の中点$\mathrm{S}$で辺$\mathrm{AB}$と交わる．

(1)　$▵\mathrm{RBF}$と$▵\mathrm{POD}$の面積を次のように求めた．$\boxed{\text{ア}}$〜$\boxed{\text{コ}}$に適する数値を補え．

　$▵\mathrm{RBF}$の頂点$\mathrm{R}$から辺$\mathrm{BF}$に下ろした垂線の長さを$h$とする．

　$▵\mathrm{RBF}\backsim ▵\mathrm{RDA}$だから，

$\mathrm{BF}:\mathrm{DA}=\boxed{\text{ア}}:\boxed{\text{イ}}$より$h=\boxed{\text{ウ}}$

　よって$▵\mathrm{RBF}$の面積は$\boxed{\text{エ}}$である．

　次に，$▵\mathrm{POD}$の面積を$x\text{，}▵\mathrm{PAE}$の面積を$y$とおく．

　$▵\mathrm{ABD}=▵\mathrm{PDA}+▵\mathrm{PAB}$より

$\boxed{\text{オ}}x+\boxed{\text{カ}}y=\boxed{\text{キ}}\cdots \text{①}$

が成り立つ．同様に

$\boxed{\text{ク}}x+y=24\cdots \text{②}$

が成り立つ．$\text{①}$と$\text{②}$を連立させて$x\text{，}y$を求めると，

$x=\boxed{\text{ケ}}\text{，}y=\boxed{\text{コ}}$

　よって，$▵\mathrm{POD}$の面積は$\boxed{\text{ケ}}$である．

(2)　$▵\mathrm{PQR}$の面積を求めよ．