2010 早稲田大学 スポーツ科学部MathJax

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2010 早稲田大学 スポーツ科学部

2月14日実施

易□ 並□ 難□

【1】

(1) 平面上の 4 O( 0,0) A( 0,2) B( 4,0) C( 1,1) に対し,線分 BC の垂直二等分線は x+y + =0 となる.また,平面上で PC PO PCPA PCPB を満たす点 P の存在する範囲は 3 (0 ,1) ( 2, ) ( , ) を頂点とする三角形の内部および周であり,この三角形の面積は である.

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2月14日実施

易□ 並□ 難□

【1】

(2) 平面上に 3 O A B があり,点 O を定点として, 2 A B は次の条件を満たしながら動く.

AOB=60 °

| OA +OB | 2+ | OA- OB | 2=8

さらに,点 C OC = OA+ OB となるようにとるとき, |OC | の最大値は である.

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2月14日実施

易□ 並□ 難□

【2】

(1) 自然数 n n= p2 q p q は素数, pq )の形で表されるとき, n の正の約数は 6 個あり,それらの和は

( +p +p2 )( +q )

と表すことができる.このような n で正の約数の和が 2 n となるような数を求める.正の約数の和が 2 n であるから,

2p2 q= ( +p +p2 )( +q )

が成り立つ. +p +p2 は奇数であり, p の倍数ではないから, +q 2 p2 の倍数となり,

+q =2p 2k kは自然数)

とおける.したがって,

q=( +p +p2 )k

となるが, q は素数であるから, k= である.よって

p2- p- =0

これを解いて, p= である.ゆえに n= である.

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2月14日実施

易□ 並□ 難□

【2】

(2) 条件

a1= 3 an+ 1= 3 an +2a n+2 n=1 2 3

によって定められる数列 {an } に対して, bn= an-2 an +1 とおくと,数列 {bn } は等比数列となり,これより,数列 { an } の一般項は a n= n + n- となる.

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2月14日実施

易□ 並□ 難□

【3】  1 辺の長さが 1 (メートル)の正三角形の紙がある.この三角形の 3 頂点を A B C とする.辺 BC 上の点 P と辺 AB 上の点 Q を次のようにとる.

Q を通るある直線を折り目としてこの紙を折り曲げるときに点 A は点 P に重なる.

ここで, BP=x (メートル), PQ=y (メートル)とおくとき,

x2- ( -y )x+ - y=0

が成り立つ.これを x についての方程式とみると, 0x 1 であるから

+ y1

となる.したがって, AQ が最小となるのは, y= + のときであり,このとき, BAP= ° である.

 ただし, はできる限り小さい自然数で答えること.

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易□ 並□ 難□

【4】  -1a 1 の範囲の実数 a に対して

f(a )= -1 1 x| x-a | dx

とおく. k を実数とし,区間 -1 x1 を定義域とする関数

g(x )=12 f(x )+k x

を考える.

(a)  -1x 1 の範囲で

12f (x)= x3 - x

が成り立つ.

(b) 関数 g (x) x= 3 2 で最小値をとるとき, k= である.

(c) 関数 g (x) が最小値をとるような x の値が 2 つあるとき, k= である.このときの g (x) の最小値は である.

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