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2010-13591-0201
2010 早稲田大学 スポーツ科学部
2月14日実施
易□ 並□ 難□
【1】
(1) 平面上の 4 点 O( 0,0) ,A( 0,2) ,B( 4,0) ,C( 1,1) に対し,線分 BC の垂直二等分線は ア ⁢ x+y + イ =0 となる.また,平面上で PC≦ PO, PC≦PA , PC≦PB を満たす点 P の存在する範囲は 3 点 (0 ,1) ,( 2, ウ ) , ( エ , オ ) を頂点とする三角形の内部および周であり,この三角形の面積は カ である.
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(2) 平面上に 3 点 O ,A ,B があり,点 O を定点として, 2 点 A ,B は次の条件を満たしながら動く.
∠AOB=60 °
| OA→ +OB → | 2+ | OA→- OB→ | 2=8
さらに,点 C を OC →= OA→+ OB→ となるようにとるとき, |OC → | の最大値は キ である.
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数学入試問題さんの解答(PDF)へ
【2】
(1) 自然数 n が n= p2⁢ q ( p ,q は素数, p≠q )の形で表されるとき, n の正の約数は 6 個あり,それらの和は
( ク +p +p2 )⁢( ケ +q )
と表すことができる.このような n で正の約数の和が 2⁢ n となるような数を求める.正の約数の和が 2⁢ n であるから,
2⁢p2 ⁢q= ( ク +p +p2 )⁢( ケ +q )
が成り立つ. ク +p +p2 は奇数であり, p の倍数ではないから, ケ +q は 2⁢ p2 の倍数となり,
ケ +q =2⁢p 2⁢k ( kは自然数)
とおける.したがって,
q=( ク +p +p2 )⁢k
となるが, q は素数であるから, k= コ である.よって
p2- p- サ =0
これを解いて, p= シ である.ゆえに n= ス である.
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(2) 条件
a1= 3, an+ 1= 3 ⁢an +2a n+2 ( n=1 ,2 ,3 , ⋯)
によって定められる数列 {an } に対して, bn= an-2 an +1 とおくと,数列 {bn } は等比数列となり,これより,数列 { an } の一般項は a n= セ ⋅ ソ n + タ チ n- ツ となる.
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【3】 1 辺の長さが 1 (メートル)の正三角形の紙がある.この三角形の 3 頂点を A ,B ,C とする.辺 BC 上の点 P と辺 AB 上の点 Q を次のようにとる.
点 Q を通るある直線を折り目としてこの紙を折り曲げるときに点 A は点 P に重なる.
ここで, BP=x (メートル), PQ=y (メートル)とおくとき,
x2- ( テ -y )⁢x+ ト - ナ ⁢ y=0
が成り立つ.これを x についての方程式とみると, 0≦x≦ 1 であるから
ニ + ヌ ⁢ ネ ≦ y≦1
となる.したがって, AQ が最小となるのは, y= ニ + ヌ ⁢ ネ のときであり,このとき, ∠BAP= ノ ° である.
ただし, ネ はできる限り小さい自然数で答えること.
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【4】 -1≦a ≦1 の範囲の実数 a に対して
f⁡(a )= ∫-1 1⁡ x⁢| x-a |⁢ dx
とおく. k を実数とし,区間 -1≦ x≦1 を定義域とする関数
g⁡(x )=12⁢ f⁡(x )+k⁢ x
を考える.
(a) -1≦x ≦1 の範囲で
12⁢f⁡ (x)= ハ ⁢ x3 - ヒ ⁢ x
が成り立つ.
(b) 関数 g⁡ (x) が x= 3 2 で最小値をとるとき, k= フ である.
(c) 関数 g⁡ (x) が最小値をとるような x の値が 2 つあるとき, k= ヘ である.このときの g⁡ (x) の最小値は ホ である.