2010　早稲田大学　理工系学部MathJax

【１】　$xy$平面上の$2$点$\mathrm{A}(-1,4)\text{，}\mathrm{B}(2,5)$を通り，直線$y={\displaystyle \frac{1}{2}}x$と共有点をもつ円を考える．以下の問に答えよ．

(1)　この円の中心$\mathrm{P}$の軌跡をもとめよ．

(2)　この円の半径$r$の最小値を求めよ．

【２】　$xy$平面上の点$(x_1,y_1)$に対して，点$(x_2,x_2)\text{，}(x_3,y_3)\text{，}\cdots$を次の式で順に定める．

$\left(\begin{array}{c}{x}_{n+1}\\ y_{n+1}\end{array}\right)=\{\begin{array}{ll}\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right)& \text{（}{y}_n\geqq 0\text{のとき）}\\ \left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right)& \text{（}{y}_n<0\text{のとき）}\end{array}$

　以下の問に答えよ．

(1)　$(x_1,y_1)=(-1,2)$のとき，$(x_3,y_3)$を求めよ．

(2)　$(x_1,y_1)=(1,0)$のとき，$(x_5,y_5)$を求めよ．

(3)　$x_1>0$かつ$y_1>0$のとき，$(x_4,y_4)=(x_1,y_1)$となることを示せ．

(4)　$(x_n,y_n)=(x_1,y_1)$となる$2$以上の整数$n$が存在しないとき，点$(x_1,y_1)$はどのような範囲にあるかを図示せよ．

【３】　$a\text{，}b$を実数とし，$xy$平面上の次の$2$つの関数のグラフについて考える．

$y=e^{|x|}\cdots \text{①}$

$y=ax+b\cdots \text{②}$

　以下の問に答えよ．

(1)　$\text{①}\text{，}\text{②}$がただ$1$つの共有点をもつとき，$b$を$a$で表し，そのグラフを$ab$平面上に図示せよ．

(2)　(1)のグラフを$b=f(a)$と表す．定数$p$に対して

$pa+f(a)$

を最大にする$a$およびその最大値を求めよ．

【４】　$xyz$空間において，$2$点$\mathrm{P}(1,0,1)\text{，}\mathrm{Q}(-1,1,0)$を考える．線分$\mathrm{PQ}$を$x$軸の回りに$1$回転して得られる曲面を$S$とする．以下の問に答えよ．

(1)　曲面$S$と，$2$つの平面$x=1$および$x=-1$で囲まれる立体の体積を求めよ．

(2)　(1)の立体の平面$y=0$による切り口を，平面$y=0$上において図示せよ．

(3)　定積分${\displaystyle {\int }_0^1}\sqrt{t^2+1}dt$の値を$t={\displaystyle \frac{e^s-e^{-s}}{2}}$と置換することによって求めよ．これを用いて，(2)の切り口の面積を求めよ．

【５】　表の出る確率が$p\text{（}0<p<1\text{），}$裏の出る確率が$1-p$の硬貨が$1$枚ある．$n$を自然数とする．この硬貨を$2n$回投げたとき，表が$n+1$回以上出る確率を$P_n$とする．以下の問に答えよ．

(1)　$P_2\text{，}{P}_3$を求めよ．

(2)　$P_3>P_2$となる$p$の範囲を求めよ．

(3)　$P_{n+1}-P_n=p^{n+1}{(1-p)}^n(ap+b)$となる$a\text{，}b$を$n$を用いて表せ．ただし$a\text{，}b$は$p$を含まないとする．

(4)　$p={\displaystyle \frac{7}{16}}$のとき，$P_n$を最大にする$n$を求めよ．