2010　早稲田大学　教育学部MathJax

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる数または数の組を解答用紙の所定欄に記入せよ．

(1)　極限

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n}}\sqrt[n]{(n+1)(n+2)\cdots (n+n)}$

の値は$\boxed{\text{ア}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる数または数の組を解答用紙の所定欄に記入せよ．

(2)　ある囲碁大会で，$5$つの地区から男女が各$1$人ずつ選抜されて，男性$5$人と女性$5$人のそれぞれが異性を相手とする対戦を$1$回行う．その対戦組み合わせを無作為な方法で決めるとき，同じ地区同士の対戦が含まれない組み合わせが起こる確率は$\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる数または数の組を解答用紙の所定欄に記入せよ．

(3)　$▵\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{AC}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．直線$\mathrm{BQ}$と直線$\mathrm{CP}$の交点を$\mathrm{R}$とするとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$をベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$で表すと$\boxed{\text{ウ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる数または数の組を解答用紙の所定欄に記入せよ．

(4)　関数

$y={\displaystyle \frac{x}{\sqrt{x^2+1}+1}}$

の逆関数を表す式は$\boxed{\text{エ}}$で，その定義域は$\boxed{\text{オ}}$である．

【２】　底辺が正六角形$\mathrm{ABCDEF}$で頂点が$\mathrm{O}$の正六角錐$\mathrm{O-ABCDEF}$がある．底面の辺の長さを$a\text{，}\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=\mathrm{OD}=\mathrm{OE}=\mathrm{OF}=2a$とする．$2$つの面$▵\mathrm{OAB}$と$▵\mathrm{OBC}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$を求めよ．

【３】　座標平面上で，$C_1\text{，}{C}_2\text{，}{C}_3$を，それぞれ，中心が$(0,0)\text{，}(3,0)\text{，}(5,0)\text{，}$半径が$2\text{，}1\text{，}1$である円周とする．点$\mathrm{P}$は点$(2,0)$を出発点とし，円周$C_1$上を反時計回りに等速で$2a$秒で一周する．点$\mathrm{Q}$は点$(4,0)$を出発点とし，先ず円周$C_2$上を反時計回りに等速で$a$秒で一周し，続いて円周$C_3$上を時計回りに等速で$a$秒で一周する．

　点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$が同時に出発するとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さの最大値と最小値を求めよ．

　ただし，$a$は正の定数である．

【４】　$n$を正の整数とする．

(1)　$x>y>0$とするとき，次の不等式を証明せよ．

$x^{n+1}-y^{n+1}>(n+1)(x-y)y^n$

(2)　${(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})}^{n+1}$と${(1+{\displaystyle \frac{1}{n+1}})}^{n+2}$の大小を比較せよ．