2010　早稲田大学　政治経済学部MathJax

【１】　数字$k\text{（}k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{，}5\text{）}$が記入されたカードがそれぞれ$k$枚あり，さらに，数字$0$が記入されたカードが$1$枚，合計$16$枚のカードがある．この中から$2$枚のカードを同時に取り出し，$2$枚のカードの数が同じ場合は$1$点，異なる場合は大きい方の数の点を得る．ただし，$0$を含む場合は大きい方の数の$2$倍の点を得る．

　このとき，次の各問に答えよ．答のみ解答欄に記入せよ．

(1)　得点が$1$点となる場合は何通りあるか．

(2)　得点が$4$点以上となる確率を求めよ．

(3)　得点が偶数となる確率を求めよ．

【２】　$x-y$平面上の$3$点を

$\mathrm{A}(0,9)\text{，}\mathrm{B}(-3,0)\text{，}\mathrm{C}(2,0)$

とし，原点を$\mathrm{O}$とする．このとき，次の各問に答えよ．空欄にあてはまる最もかんたんな数値を解答欄に記入せよ．

(1)　$\mathrm{AC}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{D}$とし，$\mathrm{BD}$が$y$軸と交わる点を$\mathrm{E}$とするとき，$\mathrm{OE}:\mathrm{EA}=\boxed{}:\boxed{}$である．

(2)　$\mathrm{CE}$を延長して，$\mathrm{AB}$と交わる点を$\mathrm{F}$とするとき，$▵\mathrm{AFC}$の面積は，$▵\mathrm{ABC}$の面積の${\displaystyle \frac{\boxed{}}{\boxed{}}}$である．

【３】　$A$を正定数，角$\theta$を$0°<\theta <45°$とし，数列$\{a_n\}$を

$a_1={\displaystyle \frac{A\sin \theta }{1+\sin \theta }}$

$a_n={\displaystyle \frac{\{A-2(a_1+a_2+\cdots +a_{n-1})\}\sin \theta }{1+\sin \theta }}\text{（}n=2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定義する．

　このとき，次の各問に答えよ．(1)，(3)は答のみ解答欄に記入せよ．

(1)　${\displaystyle \frac{a_2}{a_1}}$を，$A$と$\theta$を用いて表せ．

(2)　$a_n\text{（}n\geqq 3\text{）}$を，$a_{n-1}$および$A\text{，}\theta$を用いて表せ．

(3)　初項から第$n$項までの和$S_n=a_1+\cdots +a_n$を，$A\text{，}\theta$および$n$を用いて表せ．

【４】　$x\geqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$において，直線$y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x+{\displaystyle \frac{3}{2}}\text{，}$曲線$y=4{(x-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2$および$x$軸で囲まれる図形を$D$とする．ただし，$D$は境界をすべて含む．

　このとき，次の各問に答えよ．

(1)　図形$D$の面積$S$を求めよ．答のみ解答欄に記入せよ．

(2)　直線$l:y=ax+b\text{（}a>0\text{）}$と図形$D$が共有点をもつとき，$a\text{，}b$のみたす不等式を求めよ．また，それらの不等式が表す領域を$a-b$平面上に図示せよ．

(3)　図形$D$の面積$S$が，直線$m:y=4x+b$によって$2$等分されるような定数$b$の値を求めよ．