2010　早稲田大学　商学部MathJax

【１】　$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{オ}}$にあてはまる数または式を解答用紙の所定欄に記入せよ．

(1)　整数$a\text{，}b$が$2a+3b=42$を満たすとき，$ab$の最大値は$\boxed{\text{ア}}$である．

【１】　$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{オ}}$にあてはまる数または式を解答用紙の所定欄に記入せよ．

(2)　三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=2\text{，}\mathrm{BC}=1\text{，}\mathrm{CA}=\sqrt{2}$とし，$\angle \mathrm{A}=\alpha \text{，}\angle \mathrm{B}=\beta$とする．正の整数$m\text{，}n$が$m\alpha +n\beta =\pi$を満たすとき，$m=\boxed{\text{イ}}\text{，}n=\boxed{\text{ウ}}$である．

【１】　$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{オ}}$にあてはまる数または式を解答用紙の所定欄に記入せよ．

(3)　数列$\{a_n\}$は次の$3$つの条件を満たしている．

(ⅰ)　$\{a_n\}$は等差数列で，その公差は$0$ではない．

(ⅱ)　$a_1=1$

(ⅲ)　数列$a_3\text{，}{a}_6\text{，}{a}_{10}$は等比数列になっている．

　このとき数列$\{a_n\}$の第$2010$項までの和${\displaystyle \sum _{n=1}^{2010}}{a}_n$の値は$\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{オ}}$にあてはまる数または式を解答用紙の所定欄に記入せよ．

(4)　四面体$\mathrm{ABCD}$は$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CD}=\mathrm{DA}=1$を満たす．このような四面体の体積のとり得る最大値は$\boxed{\text{オ}}$である．

【２】　$a$は定数で，$a>1$とする．座標平面において，

円　$C:x^2+y^2=1$

直線　$l:x=a$

とする．

　$l$上の点$\mathrm{P}$を通り円$C$に接する$2$本の接線の接点をそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とするとき，直線$\mathrm{AB}$は，点$\mathrm{P}$によらず，ある定点を通ることを示し，その定点の座標を求めよ．

【３】　$t$を実数とする．$2$つの放物線

$y=x^2+1\cdots \text{①}$

$y=-{(x-t)}^2+t\cdots \text{②}$

の両方に接する$2$本の直線を$l_1\text{，}{l}_2$とし，$l_1$と$l_2$の交点を$\mathrm{P}\text{，}{l}_1$と$\text{①}$の接点を$\mathrm{A}(\alpha ,{\alpha }^2+1)\text{，}{l}_2$と$\text{①}$の接点を$\mathrm{B}(\beta ,{\beta }^2+1)$とする．

　次の設問に答えよ．

(1)　$\mathrm{P}$の座標を$\alpha \text{，}\beta$を用いて表せ．

(2)　三角形$\mathrm{APB}$の面積を$S(t)$とするとき，$S(t)$を$t$の式で表せ．

(3)　$S(t)$の最小値を求めよ．