2010　早稲田大学　社会科学部MathJax

【１】　$2$つの整式

$f(x)=x^3+3x^2+mx+3$

$g(x)=x^3+m{x}^2+(m+3)x+4$

を考える．ただし，$m$は整数の定数とする．$2$つの方程式$f(x)=0\text{，}g(x)=0$が共通の整数の解$n$をもつとき，次の問に答えよ．

(1)　方程式$f(x)=0$の解をすべて求めよ．

(2)　関数$y=g(x)$の極値およびそのときの$x$の値を求めよ．

(3)　$2$つの曲線$y=f(x)\text{，}y=g(x)$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

【２】　関数$f(x)$は次の等式を満たす．

$f(x)={\displaystyle {\int }_{-1}^1}xf(t)dt+1$

　次の問に答えよ．

(1)　関数$f(x)$を求めよ．

(2)　$y=f(x)$のグラフと，点$\mathrm{P}(0,p)$を中心とする半径$1$の円が異なる$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$で交わるとき，$p$が取り得る値の範囲を求めよ．

(3)　(2)において，$▵\mathrm{ABP}$の面積$S$を$p$を用いて表せ．

(4)　(2)において，$\angle \mathrm{APB}={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$となるような$p$の値を求めよ．

【３】　$2$次方程式$x^2+2x+4=0$の$2$つの解を，$\alpha \text{，}\beta$として，次の問に答えよ．

(1)　${\displaystyle \frac{1}{{\alpha }^2}}+{\displaystyle \frac{1}{{\beta }^2}}$の値を求めよ．

(2)　$2$次方程式$2x^2+ax+b=0$の解の$1$つが${\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }}$となるように，係数$a\text{，}b$の値を定めよ．ただし，$a\text{，}b$は実数とする．

(3)　${\alpha }^3$および${\beta }^3$の値を求めよ．

(4)　$i$を虚数単位，$n$を自然数とするとき，$c(n)={\displaystyle \frac{1}{\{i-{\left({\displaystyle \frac{\alpha }{2}}\right)}^n\}\{i-{\left({\displaystyle \frac{\beta }{2}}\right)}^n\}}}$の値を求めよ．