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2010-14576-0101
2010 南山大学 センター併用マルチ入試(センター50)2月7日実施
数学 ① (数学I,II,A)
易□ 並□ 難□
【1】 の中に答を入れよ.
(1) x についての方程式 x2 +(2 ⁢a-1 )⁢x+ a=0 が異なる 2 つの実数解をもつような実数 a の値の範囲を求めると ア である.また, 2 つの 2 次方程式 x 2+(2 ⁢a-1 )⁢x +a=0 と x 2+a ⁢x+2 ⁢a-1 =0 が共通の実数解をもつように実数 a の値を定めると,その共通解は イ である.
2010-14576-0102
(2) 不等式 (x2 +y2 -4⁢ y)⁢( x2+ y2- 1)≦0 を満たす領域において, y の最小値は ウ であり, 2⁢x +y の最小値は エ である.
2010-14576-0103
数学 ① (数学I,II,A),
数学 ② (数学I,II,III,A,B)共通
(3) 2 枚の 100 円硬貨と 1 枚の 10 円硬貨がある.これらの 3 枚の硬貨を同時に投げ,表の出た 100 円硬貨の枚数が表の出た 10 円硬貨の枚数よりも多いとき 2 点,少ないとき 1 点を得るゲームを考える.ただし,同数のときは 0 点とする.このゲームを 1 回行って得られる点数の期待値を求めると オ である.また,このゲームを繰り返し, 4 回目のゲーム後に初めて合計得点がちょうど 3 点になる確率を求めると カ である.
2010-14576-0104
【2】 座標平面上で関数 y= |x- 1| ⁢(3- x)+1 のグラフ C を考える. C 上に点 P があり, P の x 座標を p とする.ただし, p>1 とする.
(1) 座標平面上に C を図示せよ.ただし, x 軸との交点および y 軸との交点を明示せよ.
(2) P における C の接線 l の方程式を求めよ.
(3) p=4 のとき,(2)の l と C とで囲まれた部分の面積 S を求めよ.
2010-14576-0105
数学 ② (数学I,II,III,A,B)
(1) 座標平面上に,原点 O と 2 点 A ,B があり,線分 AB を t: (1-t ) に内分する点を P とする. OP→ を OA → ,OB → ,t で表すと, OP→ = ア である.さらに, OP→ と AB → が垂直で, | OA→ |= 3, | OB→ |= 2, OA→ ⋅OB →=3 のとき, t= イ である.
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(2) 0≦θ≦ 2⁢π のとき,不等式 sin⁡ (2⁢θ +θ)+ sin⁡(2 ⁢θ-θ )<0 を解くと ウ であり, 0≦θ ≦π のとき,不等式 sin⁡ 3⁢θ+ sin⁡2⁢ θ+sin⁡ θ<0 を解くと エ である.
2010-14576-0107
(4)は非掲載
【2】 e は自然対数の底である.
(1) x≧1 のとき,関数 f⁡ (x)= log ⁡xx の最大値と最小値を求めよ.
(2) 定積分 S= ∫ 1e⁡ |x -e⁢log ⁡x| ⁢dx を求めよ.
(3) (2)の S が e より小さいことを示せ.ただし, (e- 2)2 <1 である.