2010　南山大　数理情報A2月9日実施MathJax

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(1)　一般項が$a_n=2n+1$で与えられる数列$\{a_n\}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とするとき，$S_{10}=\boxed{\text{ア}}$であり，$S_n=9999$となるのは$n=\boxed{\text{イ}}$のときである．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　$A=\left(\begin{array}{cc}1& -3\\ -2& 3\end{array}\right)\text{，}E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$のとき，$A^2-4A=\boxed{\text{ウ}}$であり，$A^3-5A^2+A-E=\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　複素数$\alpha \text{，}\beta$が${\alpha }^3+{\beta }^3=-2\text{，}\alpha \beta =1$を満たすとき，$\alpha +\beta =\boxed{\text{オ}}$であり，${\alpha }^2+{\beta }^2=\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(4)　関数$y=|\cos x|+2\sin {\displaystyle \frac{x}{2}}$を考える．$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，$y$のとりうる値の範囲は$\boxed{\text{キ}}$である．${\displaystyle \frac{\pi }{2}}<x\leqq \pi$のとき，$y$のとりうる値の範囲は$\boxed{\text{ク}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(5)　$1$と書かれたカード，$2$と書かれたカード，$3$と書かれたカードがそれぞれ$1$枚ずつ入った袋がある．この袋からでたらめにカードを$1$枚取り出して，書かれた数字の数だけコインをもらい，カードを袋に戻すという試行を繰り返すゲームを行う．ゲームが終了するのは，試行を$2$回繰り返した後にそれまでにもらったコインの枚数の合計がちょうど$4$枚になったとき，または，そうならずに試行を$3$回繰り返したときのいずれかである．このゲームが終了したときに，それまでにもらったコインの枚数の合計が$4$枚である確率は$\boxed{\text{ケ}}$であり，$6$枚以上である確率は$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　座標平面上に曲線$C:y=e^{-x}$があり，$C$上に点$\mathrm{P}(a,e^{-a})$がある．ただし$a\geqq 0$とする．

(1)　$\mathrm{P}$における$C$の接線の方程式を求めよ．

(2)　(1)の接線と$x$軸，$y$軸で囲まれた図形の面積$S$を$a$を用いて表せ．

(3)　$a\geqq 0$における(2)の$S$の最大値と，そのときの$a$の値を求めよ．

【３】　$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に四面体$\mathrm{OABC}$がある．$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の座標は，$\mathrm{A}(\sqrt{2},0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,\sqrt{3},0)\text{，}\mathrm{C}(0,0,2)$である．また，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を通る平面上に点$\mathrm{P}$があり，実数$s\text{，}t$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=s\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を満たす．

(1)　$\mathrm{P}$の座標を$s\text{，}t$で表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\perp \overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OP}}\perp \overrightarrow{\mathrm{AC}}$のとき，$s\text{，}t$を求めよ．

(3)　$▵\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．

(4)　(2)のとき，直線$\mathrm{AP}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{H}$とする．$\left|\overrightarrow{\mathrm{AH}}\right|$を求めよ．