2010　南山大　経済学部Ａ・Ｂ2月10日実施MathJax

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(1)　${\displaystyle \frac{\sqrt{7}+1}{\sqrt{7}-2}}$の整数部分を$a\text{，}$小数部分を$b$とするとき，$(a,b)=\boxed{\text{ア}}$であり，${\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}$の小数部分の値は$\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　$▵\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=10\text{，}\mathrm{BC}=12\text{，}\mathrm{CA}=8$とし，$\angle \mathrm{A}$の二等分線と$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}=\boxed{\text{ウ}}$である．また，$\mathrm{AD}$を軸とし，$\mathrm{AC}$を$\mathrm{AB}$に重ねるように$▵\mathrm{ADC}$を折り返すとき，$\mathrm{C}$が$\mathrm{AB}$上に重なる点を$\mathrm{E}$とする．このとき，$\sin \angle \mathrm{BDE}=\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　$x>0\text{，}y>0$とする．$(x+{\displaystyle \frac{5}{y}})(y+{\displaystyle \frac{2}{x}})$は，$xy=\boxed{\text{オ}}$のとき最小値$\boxed{\text{カ}}$をとる．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(4)　展開図が半径$r$の円と周の長さが$k$の扇形からなる円錐を考える．このとき円錐の高さは$\boxed{\text{キ}}$である．また，$k$を一定とすると，$r=\boxed{\text{ク}}$のとき円錐の表面積が最大になる．ただし，円周率を$\pi$とする．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(5)　実数$x\text{，}y\text{，}z\text{（}xyz\ne 0\text{）}$について等式$3^x=2^y=\sqrt{6^{3z}}$が成立しているとき，$x$を$z$で表すと$\boxed{\text{ケ}}$であり，${\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}$を対数を用いないで表すと$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　$t$を任意の実数として，放物線$C_1:y=x^2-2(3t+2)x+4(3t+5)$を考える．

(1)　$C_1$の頂点の座標を$t$で表せ．

(2)　$t$の値が変化するとき，$C_1$の頂点が描く曲線$C_2$の方程式を求めよ．また，$C_2$の$y$座標が最大となるときの$t$の値を求めよ．

(3)　(2)で求めた$C_2$と$x$との交点を，$x$座標の小さい順に$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とする．また，$\mathrm{PQ}$と平行な線分$\mathrm{RS}$の長さが$\mathrm{PQ}$より小さくなるように，$C_2$上に$2$点$\mathrm{R}\text{，}\mathrm{S}$を，$x$座標の小さい順にとる．このとき，四角形$\mathrm{PQSR}$の面積の最大値とそのときの$\mathrm{RS}$の長さを求めよ．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(1)　一辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{ABCD}$の辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CD}\text{，}\mathrm{DA}$上にそれぞれ点$\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}\text{，}\mathrm{G}\text{，}\mathrm{H}$を$\mathrm{AE}=\mathrm{BF}=\mathrm{DG}=\mathrm{AH}$となるようにとる．$\mathrm{AE}=a\text{（}0<a<1\text{）}$として，四角形$\mathrm{EFGH}$の周の長さを$a$で表すと$\boxed{\text{ア}}$であり，その最小値は$\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　$2{\log }_{2}x+{\log }_2(y-3)={\log }_{4}4x^2$のとき，$x(x-y)$の最小値は$\boxed{\text{ウ}}$で，このときの$x$と$y$の値は$(x,y)=\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　関数$y=x^2+2|x-1|$のグラフと直線$y=2x$の交点の座標は$\boxed{\text{オ}}$であり，これらで囲まれた部分の面積は$\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(4)　$6$個の数字$0\text{，}1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{，}5$をすべて並べて$6$桁の整数を作るとき，$10$の倍数ではない場合の数は$\boxed{\text{キ}}$通りである．また，$6$個の数字$0\text{，}1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{，}5$から$3$個選んで$3$桁の整数を作り，その右側に残りの$3$個の数字で$3$桁の整数を作るとき，どちらも$10$の倍数ではない$2$つの整数の並べ方の場合の数は$\boxed{\text{ク}}$通りである．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(5)　$▵\mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}=5\text{，}\mathrm{OB}=4$である．$\angle \mathrm{AOB}$の二等分線と$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{P}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$で表すと，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\boxed{\text{ケ}}$である．また，$\angle \mathrm{AOB}=45°$のとき，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$の内積は，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　放物線$C:y={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2$と，$C$と共有点を持たない傾きが正の直線$l:y=mx-1$がある．また，$C$上を動く点を$\mathrm{P}(p,{\displaystyle \frac{1}{4}}{p}^2)$とする．

(1)　$m$の値の範囲を求めよ．

(2)　$l$と直線$x=p\text{，}$および$\mathrm{P}$を通り$l$に垂直な直線で作られる三角形の面積を，$m$と$p$で表せ．

(3)　原点を$\mathrm{O}$とし，$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{P}$から$l$に下ろした垂線をそれぞれ$\mathrm{OH}\text{，}\mathrm{PQ}$とする．このとき，$\mathrm{OH}=\mathrm{PQ}$となる$\mathrm{P}$の座標を$m$で表せ．

(4)　(3)のとき，$C\text{，}l\text{，}$線分$\mathrm{OH}\text{，}$線分$\mathrm{PQ}$で囲まれた部分の面積$S$を$m$で表し，$S$の最大値とそのときの$m$の値を求めよ．

【３】　斜辺の長さが$a$である直角三角形に内接する円を$C_1$とする．$C_1$に内接する直角三角形を描き，それに内接する円を$C_2$とし，一般に，$C_n$に内接する直角二等辺三角形を描き，それに内接する円を$C_{n+1}$とする．$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）．}$このようにして順に作られる円$C_1\text{，}{C}_2\text{，}{C}_3\text{，}\cdots$の半径をそれぞれ$r_1\text{，}{r}_2\text{，}{r}_3\text{，}\cdots$として，数列$\{r_n\}$を考える．

(1)　$r_1$を$a$で表せ．

(2)　数列$\{r_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　$C_k$の面積が$C_1$の面積の$1$万分の$1$より小さくなる最小の$k$を求めよ．ただし，必要ならば，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}{\log }_{10}3=0.4771$の値を利用してよい．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(5)　関数$f(x)=x{e}^{-x}$がある．$f(x)=k$が異なる$2$つの解を持つような実数$k$の範囲は$\boxed{\text{ケ}}$である．また，$C$を積分定数とするとき，$f(x)$の不定積分は$\boxed{\text{コ}}$である．

【３】　$a$を定数とする関数$f(x)={\displaystyle \frac{\sqrt{2x+1}-a}{x-2}}$がある．

(1)　$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　方程式${\displaystyle \frac{f(x)}{x-2}}=f^{\prime }(x)$が実数解を持つとき，$a$の値の範囲を求めよ．

(3)　$\underset{x\to 2}{\lim }{f}^{\prime }(x)$が有限な値を持つとき，$a$の値と$\underset{x\to 2}{\lim }f(x)$を求めよ．