2010　南山大　人文・総合政策Ｂ2月11日実施MathJax

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(1)　分数式${\displaystyle \frac{x^3+2x^2+4x-7}{x^2+2x-3}}$を約分して既約分数式にすると$\boxed{\text{ア}}$である．また，等式$a(x-1)+b(x-1)(x-2)+c(x-3)=3x^2+2x+1$が$x$についての恒等式となるように$a\text{，}b\text{，}c$の値を定めると，$(a,b,c)=\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　$3^{30}$の桁数を求めると$\boxed{\text{ウ}}$である．また，${\left({\displaystyle \frac{1}{9}}\right)}^{40}$を小数で表すと小数第$n$位に初めて$0$でない数が現れ，$n=\boxed{\text{エ}}$である．ただし，${\log }_{10}3=0.4771$とする．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　$2$次関数$f(x)=a{x}^2+bx+c$は$x=1$で最小値$-1$をとる．$f(x)=0$の$2$つの解を$\alpha \text{，}\beta$とするとき，${\alpha }^4+{\beta }^4$を$a$で表すと${\alpha }^4+{\beta }^4=\boxed{\text{オ}}$である．また，${\alpha }^4+{\beta }^4>6$を満たす$a$の値の範囲を求めると$\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(4)　$a\geqq 0$とする．$2$点$\mathrm{A}(0,0)\text{，}\mathrm{B}(a,3)$からの距離が$2:1$である点$\mathrm{P}$の描く図形の方程式は$\boxed{\text{キ}}$である．また，この図形が直線$y=x+2$と$2$つの共有点$\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$をもち，線分$\mathrm{CD}$の長さが$2\sqrt{2}$であるとき，$a$の値を求めると$a=\boxed{\text{ク}}$である．

【２】　$a>0$のとき，座標平面上に曲線$C:y=x^2-x$と点$\mathrm{A}(a,-3a^2-a)$を考える．$\mathrm{A}$を通る$2$つの$C$の接線を$l_1\text{，}{l}_2$とする．ただし，接点の$x$座標が小さい方を$l_1$とする．

(1)　座標平面上に$C$のグラフをかき，$C$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S_1$を求めよ．

(2)　$l_1\text{，}{l}_2$の方程式を求めよ．

(3)　$C$と$l_1$および直線$x=a$で囲まれた部分の面積$S_2$を求めよ．

(4)　(1)の$S_1$と(3)の$S_2$が等しくなるような$a$の値を求めよ．