2010　同志社大　理系学部2月4日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(1)　微分して

${\displaystyle \frac{d}{dx}}\log (2x+\sqrt{4x^2+1})={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\sqrt{4x^2+1}}}$

${\displaystyle \frac{d}{dx}}(x\sqrt{4x^2+1})=2\sqrt{4x^2+1}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}}{\sqrt{4x^2+1}}}$

となる．これを利用すれば，

${\displaystyle {\int }_0^1}\sqrt{4x^2+1}dx=\boxed{\text{ウ}}$

である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(2)　連続関数$f(x)$が関係式

$f(x)={\displaystyle \frac{e^{2x}}{2(e-1)}}{\displaystyle {\int }_0^1}{e}^{-y}f(y)dy+{\displaystyle {\int }_0^{\frac{1}{2}}}f(y)dy+{\displaystyle {\int }_0^{\frac{1}{2}}}{\sin }^2(\pi y)dy$

をみたすとき，$f(x)$は次のようにして決定できる．まず，

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{1}{2}}}{\sin }^2(\pi y)dy=\boxed{\text{エ}}$

である．次に，

$f(x)=A{e}^{2x}+B$（$A\text{，}B$は定数）

とおくと，

${\displaystyle {\int }_0^1}{e}^{-y}f(y)dy=\boxed{\text{オ}}A+\boxed{\text{カ}}B\text{，}$

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{1}{2}}}f(y)dy=\boxed{\text{キ}}A+\boxed{\text{ク}}B$

である．したがって，上の関係式から，$A\text{，}B$についての連立$1$次方程式を得る．その解を求めると，

$A=\boxed{\text{ケ}}\text{，}B=\boxed{\text{コ}}$

となる．

【２】　座標空間内の互いに異なる$4$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$について

$\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{BD}}\right|$

が成立しているとする．また，線分$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{CD}\text{，}\mathrm{AD}\text{，}\mathrm{BC}$の中点をそれぞれ$\mathrm{M}\text{，}\mathrm{N}\text{，}\mathrm{K}\text{，}\mathrm{L}$とする．ただし，$\mathrm{M}$と$\mathrm{N}\text{，}$および$\mathrm{K}$と$\mathrm{L}$はそれぞれ異なる点である．次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{MN}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BD}}$を用いて表せ．

(2)　内積$\overrightarrow{\mathrm{MN}}\cdot (\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{BD}})$を計算せよ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{MN}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$のなす角$\alpha \text{（}0\leqq \alpha \leqq \pi \text{）}$と$\overrightarrow{\mathrm{MN}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BD}}$のなす角$\beta \text{（}0\leqq \beta \leqq \pi \text{）}$が等しいことを示せ．

(4)　$\overrightarrow{\mathrm{MN}}$と$\overrightarrow{\mathrm{KL}}$のなす角を計算せよ．

【３】　行列$A\text{，}B\text{，}E\text{，}O$を

$A=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -2& 3\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)\text{，}E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\text{，}O=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$

とする．次の問いに答えよ．

(1)　等式$A^2-5A+4E=O$が成立することを示せ．

(2)　正の$2$実数$x\text{，}y$に対し$Z=xA+yE$とする．$Z^2=A$が成立するように$x\text{，}y$を定めよ．

(3)　任意の$2$次の正方行列$W$について，等式$BW=WB$が成立すれば$W=uB+vE$（$u\text{，}v$は実数）と表せることを示せ．

(4)　等式$Y^2=B$をみたす$2$次の正方行列$Y$は存在しないことを示せ．

【４】　関数$f_n(x)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を

$f_n(x)=1+{\displaystyle \sum _{k=1}^{2n}}{(-x^2)}^k$

と定める．次の問いに答えよ．

(1)　$0<x<1$である$x$について$\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n(x)$を計算せよ．

(2)　${\displaystyle {\int }_0^{\frac{1}{\sqrt{3}}}}{\displaystyle \frac{dx}{1+x^2}}$を計算せよ．

(3)　$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対して次の不等式が成立することを示せ．

$0<{\displaystyle {\int }_0^{\frac{1}{\sqrt{3}}}}(f_n(x)-{\displaystyle \frac{1}{1+x^2}})dx<{\displaystyle \frac{1}{4n+3}}{\left({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}\right)}^{4n+3}$

(4)　${\displaystyle {\int }_0^{\frac{1}{\sqrt{3}}}}{f}_n(x)dx={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}+{\displaystyle \sum _{k=1}^{2n}}{\displaystyle \frac{{(-1)}^k}{2k+1}}{({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}})}}^{2k+1}$が成立することを示せ．

(5)　${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }}{\displaystyle \frac{{(-1)}^k}{2k+1}}{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^k$を計算せよ．