2010　同志社大　文系学部2月6日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

　鋭角三角形$\mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=c\text{，}\mathrm{BC}=a\text{，}\mathrm{CA}=b$とする．また$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$との内積を$a\text{，}b\text{，}c$を用いて表すと$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\boxed{\text{ア}}$である．頂角$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と底辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とすると$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\boxed{\text{イ}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\boxed{\text{ウ}}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$となり，頂点$\mathrm{A}$から底辺$\mathrm{BC}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とすると$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=\boxed{\text{エ}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\boxed{\text{オ}}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$となる．点$\mathrm{C}$から辺$\mathrm{AB}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{E}$とし，点$\mathrm{B}$から辺$\mathrm{AC}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{F}$とすると$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\boxed{\text{カ}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AF}}=\boxed{\text{キ}}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$となり，$\overrightarrow{\mathrm{EF}}=\boxed{\text{ク}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\boxed{\text{ケ}}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$であり，$\mathrm{EF}=\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　$p$を$0<p<{\displaystyle \frac{1}{2}}$である定数とする．動点$\mathrm{P}$は時刻$n\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$では四面体$\mathrm{ABCD}$の$4$頂点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$のいずれかにあり，次の規則 i，ii，iiiに従うとする．

i　時刻$0$では，動点$\mathrm{P}$は頂点$\mathrm{A}$にある．

ii　時刻$n$に動点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$のいずれかにある場合，時刻$n+1$では必ず他の頂点へ移動する．その時，頂点$\mathrm{D}$へ移動する確率は$1-2p$であり，残り$2$つの頂点へ移動する確率はいずれも$p$である．

iii　時刻$n$に動点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{D}$にある場合，時刻$n+1$でも頂点$\mathrm{D}$にある．

時刻$n$に動点$\mathrm{P}$が各頂点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$に存在する確率をそれぞれ$a_n\text{，}{b}_n\text{，}{c}_n\text{，}{d}_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$とする．$a_1=0\text{，}{b}_1=p\text{，}{c}_1=p\text{，}{d}_1=1-2p$である．以下の問いに答えよ．

(1)　$a_2\text{，}{d}_2$を$p$を用いて表せ．

(2)　$a_{n+1}\text{，}{d}_{n+1}$を$p\text{，}{a}_n\text{，}{b}_n\text{，}{c}_n\text{，}{d}_n$を用いて表せ．

(3)　$d_{n+1}$を$p\text{，}{d}_n$を用いて表せ．

(4)　$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{d}_k$とする．$S_n$を求めよ．

【３】　$f(x)={\displaystyle {\int }_0^1}|x-t|dt$と定義する．以下の問いに答えよ．

(1)　$f({\displaystyle \frac{1}{2}})$の値を求めよ．

(2)　$y=f(x)$のグラフの概形を描け．

(3)　点$\mathrm{A}(0,1)\text{，}$点$\mathrm{B}(1,0)$とする．線分$\mathrm{AB}$と曲線$y=f(x)$との交点を$\mathrm{D}$とする．また，第$1$象限に点$\mathrm{C}$をとり$▵\mathrm{ABC}$が正三角形になるようにする．点$\mathrm{C}$と点$\mathrm{D}$の座標をそれぞれ求めよ．

(4)　正三角形$\mathrm{ABC}$の内部でかつ条件$y\leqq f(x)$を満たす部分の面積を求めよ．