2010　同志社大　理系学部2月7日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$に適する数を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．

${\cos }^4\theta ={({\cos }^2\theta )}^2=\boxed{\text{ア}}+\boxed{\text{イ}}\cos 2\theta +\boxed{\text{ウ}}\cos 4\theta$

なので

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{\cos }^4\theta d\theta =\boxed{\text{エ}}$

一方，定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{\cos }^5\theta d\theta$において$t=\sin \theta$とおくと

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{\cos }^5\theta d\theta ={\displaystyle {\int }_{\boxed{\text{カ}}}^{\boxed{\text{オ}}}}(\boxed{\text{キ}}{t}^4+\boxed{\text{ク}}{t}^2+\boxed{\text{ケ}})dt=\boxed{\text{コ}}$

となる．

【２】　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d\text{，}x\text{，}y\text{，}z\text{，}u$を実数とし，行列$A\text{，}B\text{，}E$を

$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{cc}x& y\\ z& u\end{array}\right)\text{，}E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

とする．また，

$A+B=E\text{，}AB=E$

が成立するとする．次の問いに答えよ．

(1)　任意の実数$k$に対して$A\ne kE$であることを示せ．

(2)　$a+b$を計算せよ．

(3)　$a\text{，}b\text{，}c$が整数であり，

$2\leqq a\leqq 9\text{，}2\leqq b\leqq |c|\leqq 9$

をみたすとき，行列$A\text{，}B$を決定せよ．

【３】　関数$f(x)$は微分可能で，つねに$f(x)>0$であり，曲線$y=f(x)$上の任意の点$(a,f(a))$での接線が$x$軸と$(a-1,0)$で交わるとする．また，$y=f(x)$上の点$(-1,f(-1))$での法線$l$は原点$(0,0)$を通るとする．次の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}}$を求めよ．

(2)　$\log f(x)$の導関数を計算し，$f(x)$を決定せよ．

(3)　曲線$y=f(x)\text{，}$および点$(1,f(1))$における接線$m$と点$(-1,f(-1))$における法線$l$により囲まれた部分の面積を計算せよ．

【４】　$a\text{，}b$を正の実数とし，座標空間内の点を$\mathrm{A}(a,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,b,0)\text{，}\mathrm{C}(0,0,1)\text{，}\mathrm{P}(2,2,1)$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$▵\mathrm{ABC}$の面積$S$を$a\text{，}b$を用いて表せ．

(2)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の両方に直交する長さ$1$のベクトルをすべて，$a\text{，}b$を用いて成分表示せよ．

(3)　点$\mathrm{P}$から$▵\mathrm{ABC}$を含む平面に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PH}}$を$a\text{，}b$を用いて成分表示せよ．

(4)　四面体$\mathrm{PABC}$の体積$V$を$a\text{，}b$を用いて表せ．

(5)　$V={\displaystyle \frac{1}{3}}$であるとき$b$を$a$を用いて表せ．また，このときの$▵\mathrm{ABC}$の面積$S$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．