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2010-14861-0601
2010 同志社大学 文,経済学部2月8日実施
易□ 並□ 難□
【1】 次の に適する数または式を,解答用紙の同じ記号の付いた の中に記入せよ.
t=sin⁡ θ+cos⁡ θ とおく. t=r⁢ sin⁡(θ +α) のかたちに表すと, r= ア ,α = イ となる.ただし r> 0, 0<α <π とした.
したがって t の取り得る値の範囲は | t| ≦ ウ である. s=sin⁡ θ⁢cos⁡ θ を t の式で表すと s= エ である.次に sin 3⁡θ +cos3 ⁡θ を t の式で表すと sin 3⁡θ +cos3 ⁡θ= オ となり,この式を f⁡ (t) とおく. f⁡( t) の導関数は f ′⁡ (t) = カ であり,この t の範囲での f⁡ (t) の最大値を M , 最小値を m とすると, M= キ であり, m= ク である. u=sin 4⁡θ +cos4 ⁡θ を s を用いて表すと u= ケ となり, t を用いて表すと u= コ となる.
2010-14861-0602
【2】 f⁡(x )=p⁢ x2+ q⁢x+ r とする.放物線 C: y=f⁡ (x) が原点 O および点 (1 ,3) を通り,直線 y= 2⁢x と原点 O で接している.放物線 C 上の原点 O 以外の相異なる 2 点 A( a,f⁡ (a)) と B( b,f⁡ (b)) をとると, ∠AOB が直角であるという.ただし a< b とする.以下の問いに答えよ.
(1) p ,q ,r の値を求め, 2 次関数 y= f⁡(x ) の最小値を求めよ.
(2) b を a で表せ.
(3) b-a の最小値とその時の a ,b の値を求めよ.
(4) (3)で得られた a ,b に対して線分 AB を考える.放物線 C と線分 AB で囲まれた部分の面積を求めよ.
2010-14861-0603
【3】 直角三角形 ABC において AB =a ,BC =1 ,∠ B= π2 であるとする.辺 AC 上に点 A 1 , 辺 BC 上に点 B1 を A 1B1 =BB 1 かつ ∠A 1B1 C= π2 となるようにとる.次に直角三角形 A 1B1 C において辺 A 1C 上に点 A 2, 辺 B 1C 上に点 B 2 を A 2B2 =B1 B2 かつ ∠ A2B 2C= π 2 となるようにとる.これを繰り返し,点 A n, Bn ( n=1 , 2, 3 ,⋯ ) を順次定める.また A nBn =an とおく.以下の問いに答えよ.
(1) a1 を a を用いて表せ.
(2) an を a ,n を用いて表せ.
(3) ▵Ak Bk Bk+ 1 の面積を Sk とする. ∑ k=1 n⁡ Sk を a ,n を用いて表せ.