2010　同志社大　神・心理・商学部2月9日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(1)　$3$次関数$f(x)=ax{(x-2)}^2+b{(x-2)}^2+c(x-2)+d$は条件$f(0)=-1\text{，}{f}^{\prime }(0)=9\text{，}f(2)=1\text{，}{f}^{\prime }(2)=-3$を満たしている．このとき，$a=\boxed{\text{ア}}\text{，}b=\boxed{\text{イ}}\text{，}c=\boxed{\text{ウ}}\text{，}d=\boxed{\text{エ}}$であり，$0\leqq x\leqq 2$の範囲での$f(x)$の最大値は$\boxed{\text{オ}}\text{，}$最小値は$\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(2)　数列$\{a_n\}$は条件$a_1={\displaystyle \frac{3}{5}}\text{，}{a}_{n+1}=2{a_n}^2-1\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$によって定められている．このとき，$a_2=\boxed{\text{キ}}$である．$a_1=\cos \theta$とすると，$\theta$を用いて$a_2=\cos (\boxed{\text{ク}})\text{，}{a}_3=\cos (\boxed{\text{ケ}})$と表すことができる．同様にして，数列$\{a_n\}$の一般項は$\theta$を用いて$a_n=\boxed{\text{コ}}$と表すことができる．

【２】　数列$\{a_n\}$は条件

$a_1=4\text{，}{a}_{n+1}={\displaystyle \frac{2a_n+6}{a_n+1}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

によって定められている．また等式$p={\displaystyle \frac{2p+6}{p+1}}$を満たす正の実数を$p$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$p$の値を求めよ．

(2)　$b_n=a_n-p$とする．$b_1$の値と$b_n$が満たす漸化式を求めよ．

(3)　$c_n={\displaystyle \frac{1}{b_n}}$とおく．$c_1$の値と$c_n$が満たす漸化式を求めよ．

(4)　数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．

(5)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

【３】　$2$次関数$y=f(x)$のグラフは点$(0,0)\text{，}(1,-1)\text{，}(3,3)$を通り，$3$次関数$y=g(x)$のグラフは点$(-3,-3)\text{，}(-1,1)\text{，}(1,-1)\text{，}(3,3)$を通る．また関数$h(x)$を

$h(x)=\{\begin{array}{cc}f(x)& \text{（}x\geqq 0\text{）}\\ -f(-x)& \text{（}x<0\text{）}\end{array}$

によって定義する．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　多項式$f(x)\text{，}g(x)$を求めよ．

(2)　$2$次関数$y=f(x)\text{，}3$次関数$y=g(x)$および関数$y=h(x)$の概形をそれぞれ描け．

(3)　関数$y=|h(x)|$のグラフと$x$軸，および直線$x=-3$と直線$x=3$によって囲まれた図形の面積を求めよ．

(4)　$p(x)=f(x)-g(x)$とおく．$p(x)$の導関数$p^{\prime }(x)$を求めよ．

(5)　$-3\leqq x\leqq 3$の範囲での$|h(x)-g(x)|$の最大値を求めよ．