2010　同志社大　理工学部2月10日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$に適する数を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(1)　曲線$C:y=\cos x$上の点$(a,\cos a)\text{（}a\ne 0\text{，}\pm \pi \text{，}\pm 2\pi \text{，}\cdots \text{）}$における法線の方程式は$y=\boxed{\text{ア}}$であり，法線と$x$軸の交点$\mathrm{P}$の座標は$(\boxed{\text{イ}},0)$である．したがって，交点$\mathrm{P}$と$(a,0)$の距離は$f(a)=\boxed{\text{ウ}}$と表せる．もし${\displaystyle \frac{\pi }{8}}\leqq a\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{3}}$であれば，距離$f(a)$は$a=\boxed{\text{エ}}$のとき最大値$\boxed{\text{オ}}$をとり，$a=\boxed{\text{カ}}$のとき最小値$\boxed{\text{キ}}$をとる．

【１】　次の$\boxed{}$に適する数を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．

(2)　曲線

$C^{\prime }:y=x+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}\text{（}1\leqq x\leqq 4\text{）}$

と直線$x=1\text{，}x=4$および$x$軸で囲まれた部分の面積は$\boxed{\text{ク}}$であり，それを$x$軸のまわりに回転させてできる回転体と$y$軸のまわりに回転させてできる回転体の体積はそれぞれ$\boxed{\text{ケ}}$と$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　関数$f(x)=x{e}^{-|x|}$について次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$の極値を計算せよ．

(2)　$\underset{t\to \infty }{\lim }t{e}^{-t}=0$を利用して$y=f(x)$のグラフの概形を描け．

(3)　直線$y=mx$と曲線$y=f(x)$が原点以外に共有点を持つための条件を，$m$を用いて表せ．

(4)　直線$y=mx$と曲線$y=f(x)$が原点以外に共有点を持つとする．このとき，直線$y=mx$と曲線$y=f(x)$で囲まれた部分の面積を求めよ．

【３】　次の問いに答えよ．

(1)　数列$\{a_n\}$は

$a_1=1\text{，}{a}_n={\displaystyle \frac{n-1}{n+1}}{a}_{n-1}\text{（}n\geqq 2\text{）}$

をみたしている．$\{a_n\}$の一般項を$n$を用いて表せ．

(2)　数列$\{b_n\}$は

$b_1=1\text{，}{b}_n={\displaystyle \frac{n^2+n+1}{n^2-n+1}}{b}_{n-1}\text{（}n\geqq 2\text{）}$

をみたしている．$\{b_n\}$の一般項を$n$を用いて表せ．

(3)　数列$\{c_n\}$は

$c_1=1\text{，}{c}_n={\displaystyle \frac{n^3-1}{n^3+1}}{c}_{n-1}\text{（}n\geqq 2\text{）}$

をみたしている．$\{c_n\}$の一般項を$n$を用いて表せ．

(4)　上の(3)の数列$\{c_n\}$に対し，$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{c}_k$を$n$を用いて表せ．

【４】　行列$S\text{，}T$を，

$S=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 4& 0\end{array}\right)\text{，}T=\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ 2& 0\end{array}\right)$

とし，$m$を正の整数とする．次の問いに答えよ．

(1)　行列$S^3{T}^2\text{，}{(S+T)}^5$を求めよ．

(2)　行列${(S+T)}^{2m+1}$を求めよ．

(3)　${(1+x)}^{2m+1}$の展開式を用いて

${}_{2m+1}C_0+{}_{2m+1}C_2+\cdots +{}_{2m+1}C_{2k}+\cdots +{}_{2m+1}C_{2m}$

$={}_{2m+1}C_1+{}_{2m+1}C_3+\cdots +{}_{2m+1}C_{2k+1}+\cdots +{}_{2m+1}C_{2m+1}=2^{2m}$

であることを示せ．

(4)　$S^{2m+1}+{}_{2m+1}C_1{S}^{2m}T+\cdots +{}_{2m+1}C_r{S}^{2m+1-r}{T}^r+\cdots +T^{2m+1}$を求めよ．

(5)　正の整数$m$に対し，

$\left(\begin{array}{cc}{a}_m& b_m\\ c_m& d_m\end{array}\right)={(S+T)}^{2m+1}$

$\left(\begin{array}{cc}{x}_m& y_m\\ z_m& u_m\end{array}\right)=S^{2m+1}+{}_{2m+1}C_1{S}^{2m}T+\cdots +{}_{2m+1}C_r{S}^{2m+1-r}{T}^r+\cdots +T^{2m+1}$

とおく．$b_m$と$y_m$のどちらが大きいか判定せよ．また，$c_m$と$z_m$のどちらが大きいか判定せよ．