2010　立命館大　文系学部Ａ方式2月1日実施MathJax

【１】

(1)　関数$y={\log }_{4}x\cdots \text{①}$のグラフを$\boxed{\text{ア}}$軸方向に$\boxed{\text{イ}}$だけ平行移動したグラフの方程式は$y={\log }_{4}16x$である．また，関数$\text{①}$のグラフを$x$軸方向に$\boxed{\text{ウ}}\text{，}y$軸方向に$\boxed{\text{エ}}$だけ平行移動したグラフの方程式は$y={\log }_4{\displaystyle \frac{x+2}{64}}$である．

　関数$y=2^x$のグラフを直線$y=x$に関して対称な位置に移動したグラフの方程式は$y=\boxed{\text{オ}}\cdots \text{②}$である．$\text{②}$のグラフを$x$軸方向に$a\text{，}y$軸方向に$b$だけ平行移動したグラフが$2$点$(0,-1)\text{，}(4,0)$を通るとき，$a=\boxed{\text{カ}}\text{，}b=\boxed{\text{キ}}$である．

【１】

(2)　一般の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．点$\mathrm{O}$から$▵\mathrm{ABC}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とするとき，

$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=\boxed{\text{ク}}\overrightarrow{a}+\boxed{\text{ケ}}\overrightarrow{b}+\boxed{\text{コ}}\overrightarrow{c}$

であり，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OH}}\right|=\boxed{\text{サ}}$となる．

　また，点$\mathrm{H}$から$▵\mathrm{OBC}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{K}$とすると

$\overrightarrow{\mathrm{OK}}=\boxed{\text{シ}}\overrightarrow{a}+\boxed{\text{ス}}\overrightarrow{b}+\boxed{\text{セ}}\overrightarrow{c}$

であるので，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OK}}\right|=\boxed{\text{ソ}}$となる．

【１】

(3)　$3$つのサイコロを投げ，出た目の積を$x$とする．$\sqrt{x}=2$となる確率は$\boxed{\text{タ}}$である．$\sqrt{x}$が整数であるという条件を満たすとき，$\sqrt{x}$の値は$\boxed{\text{チ}}$通りある．また，$\sqrt{x}$が整数となる確率は$\boxed{\text{ツ}}$である．

【２】　年利率$5\%$の複利で$1000$万円を貯金すると，$n$年後の元利合計の金額は$1000\times {(1+0.05)}^n$万円になる．例えば，$2011$年の始めに年利率$5\%$で$1000$万円を貯金すると，$2012$年の年末には，元利合計の金額が$1000\times {(1+0.05)}^2$万円となる．下表の常用対数の値を用いて，以下の問いに答えよ．

(1)　${\log }_{10}1.05$の値は$\boxed{\text{テ}}$である．

(2)　年利率$5\%$の複利で$1000$万円を貯金する場合，元利合計の金額がはじめて$2000$万円を越えるのは$\boxed{\text{ト}}$年後である．

(3)　年利率$5\%$の複利で毎年始めに$200$万円の積立貯金をする．$1$回目の積み立てを$2011$年の始めにする場合，年末における元利合計の金額がはじめて$3000$万円を越えるのは$\boxed{\text{ナ}}$年の終わりである．

【３】(1)　$a$が正の定数で，$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき$y={\displaystyle \frac{\sin \theta -a\cos \theta }{{\cos }^3\theta }}$について，$x=\tan \theta$とおくとき，$y$を$x$の整式で表せ．

(2)　(1)で得られた整式を関数$y=f(x)$とすると，$y=f(x)$のグラフは$x$軸と$1$点で交わることを証明せよ．

(3)　関数$y=f(x)$が，極値を持つための$a$の条件を求めよ．

(4)　関数$y=f(x)$が，$x=1$で極小値を持つとき，$a$の値を求めよ．また，そのときの極大値を求めよ．