2010　立命館大　文系学部Ａ方式2月2日実施MathJax

【１】

(1)　数列$1\cdot 1\text{，}3\cdot 4\text{，}5\cdot 9\text{，}7\cdot 16\text{，}\cdots$の一般項$a_n$を$n$の式で表すと，

$a_n=(\boxed{\text{ア}}n-\boxed{\text{イ}})n^{\boxed{\text{ウ}}}$

であり，この数列の初項から第$n$項までの和$S_n$を$n$の式で表すと，

$S_n={\displaystyle \frac{n(n+1)(\boxed{\text{エ}}{n}^{\boxed{\text{オ}}}+n-\boxed{\text{カ}})}{\boxed{\text{キ}}}}$

となる．

　したがって，この数列の初項から第$20$項までの和の値は$\boxed{\text{ク}}$となる．

【１】

(2)　関数$f(x)$と関数$g(x)$は，

$f(x)=4-x^2$

$g(x)=2{(x-k)}^2+f(k)$（ただし$k>0$）

を満たす．曲線$y=f(x)$と$x$軸によって囲まれる図形の面積を$S_1$とすると，$S_1=\boxed{\text{ケ}}$である．

　また，曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$の交点の$x$座標を$k$を用いて表すと，$x=\boxed{\text{コ}}\text{，}\boxed{\text{サ}}$（ただし，$\boxed{\text{コ}}<\boxed{\text{サ}}$）となり，曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$で囲まれる図形の面積を$S_2$とすると，$k=\boxed{\text{シ}}$のときに，$S_1=S_2$となる．

【１】

(3)　平行四辺形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=7\text{，}\mathrm{BC}=8\text{，}\mathrm{BD}=5$となっている．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{d}$とし，$▵\mathrm{ABD}\text{，}▵\mathrm{CDB}$の内心をそれぞれ，$\mathrm{I}\text{，}\mathrm{J}$とする．$\angle \mathrm{ABD}$の$2$等分線と辺$\mathrm{AD}$の交点を$\mathrm{E}$とすると，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\boxed{\text{ス}}\overrightarrow{d}$であり，

$\overrightarrow{\mathrm{AI}}=\boxed{\text{セ}}\overrightarrow{b}+\boxed{\text{ソ}}\overrightarrow{d}$

となる．また，$▵\mathrm{ABD}$と$▵\mathrm{CDB}$は合同であるので，

$\overrightarrow{\mathrm{IJ}}=\boxed{\text{タ}}\overrightarrow{b}+\boxed{\text{チ}}\overrightarrow{d}$

となる．

　ここで，$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{d}=\boxed{\text{ツ}}$であるから，$\left|\overrightarrow{\mathrm{IJ}}\right|=\boxed{\text{テ}}$である．

　$▵\mathrm{ABD}$と$▵\mathrm{CDB}$の内接円の半径はともに$\boxed{\text{ト}}$であるので，$2$つの内接円上の点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とすれば，$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$の最短距離は$\boxed{\text{ナ}}$である．

【２】　ある会社の株式の今日の価格$S_0$は$10000$円で，明日から$10$日間にわたって，株価は毎日，確率${\displaystyle \frac{1}{2}}$で$100$円上昇し，確率${\displaystyle \frac{1}{2}}$で$100$円下落するものとする．ただし，各日における株価の変動は互いに独立である．また，明日を$1$日目として，$t$日目の株価を$S_t\text{（}t=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}10\text{）}$と表す．

　この株式について「$10$日目に株式$1$株を$700$円で売る権利」という商品$\mathrm{A}$がある．この商品$\mathrm{A}$を保有している者は，$10$日目に$700$円より下がっているときには権利を行使して$(700-S_{10})$円の利益が得られ，株価が$700$円以上のときには権利を行使せず損も得もしないものとする．商品$\mathrm{A}$の価値はその利益の期待値に等しいとする．時間の推移と株価の変化に伴い，商品$\mathrm{A}$の価値も日々変動する．

　以下の各ケースにおいて，商品$\mathrm{A}$の利益と価値について考えよ．なお，金額においては$1$円以下の端数も可能とする．

(1)　$1$日目の株価$S_1$が$100$円上昇し，$1100$円になったとする．この状況下で商品$\mathrm{A}$を購入すると，$10$日目に利益$(700-S_{10})$円が得られる確率は$\boxed{\text{ニ}}$であり，商品$\mathrm{A}$の価値は$\boxed{\text{ヌ}}$円である．

(2)　$1$日目の株価が$100$円下落し，$900$円になったとする．この状況下で商品$\mathrm{A}$を購入すると，$10$日目に利益$(700-S_{10})$円が得られる確率は$\boxed{\text{ネ}}$であり，商品$\mathrm{A}$の価値は$\boxed{\text{ノ}}$円である．

(3)　今日，商品$\mathrm{A}$を購入する場合，$10$日目に利益$(700-S_{10})$円が得られる確率は$\boxed{\text{ハ}}$であり，商品$\mathrm{A}$の価値は$\boxed{\text{ヒ}}$円である．

【３】　互いに外接している半径の等しい$2$つの円$A\text{，}B$がある．円$A\text{，}B$はともに円$C$に内接している．このとき，円$A\text{，}B$のそれぞれに外接し，円$C$に内接する円が$2$つ存在する．この$2$つの円をそれぞれ円$D\text{，}E$とし，円$D$の半径を$x\text{，}$円$E$の半径を$y$とする．なお，$x\geqq y$とする．

(1)　円$A\text{，}B$の半径を$r\text{，}$円$C$の半径を$s$とするとき，$x$および$y$を$r$と$s$で表せ．

(2)　$x=y$であるとき，$r$と$s$の関係を求めよ．また，このときの$x$を$r$で表せ．