Mathematics
Examination
Test
Archives
【4】 直線をとし,直線をとする.に関する対称移動をに関する対称移動をと呼ぶことにする.また,を行った後で,さらにを行う合成変換をとすると,これは次変換である.そこでを表す行列を求めてみよう.
(1) まず,直線をで移して得られる直線を求めてみよう.そのために,によって直線上の点が移される点の座標を調べる.を通ってに垂直な直線上の点の座標を媒介変数を使って
と表すと,この点はのときにに対応し,のときに直線上の点となるので,のときにに対応する.
以上のことから,直線の方程式は
となることがわかる.
(2) 次に,原点以外の任意の点をとる.をで移した点をさらにをで移した点をとする.直線上の点で,原点を中心に角だけ回転移動させたときにに一致するものをとすると,点は原点を中心にを角だけ回転移動させたものに一致する.したがっては,点をによって直線上に移した点を,原点を中心に角だけ回転移動させたものに一致する.
以上のことから,直線とのなす角をとしたとき,は,原点を中心とする角の回転移動であることがわかる.ここで,点はによってに移されるので
が成り立つ.
以上より,次変換は有理数を成分とする行列
で表されることがわかる.