2010　立命館大　理系学部Ａ方式2月2日実施MathJax

【１】　$i$を虚数単位とする．

(1)　${\theta }_1\text{，}{\theta }_2$を実数とすると，${\displaystyle \frac{\cos {\theta }_1+i\sin {\theta }_1}{\cos {\theta }_2+i\sin {\theta }_2}}=\cos \boxed{\text{ア}}+i\sin \boxed{\text{ア}}$である．

(2)　複素数$1+\sqrt{3}i$と$1+i$は

$1+\sqrt{3}i=\boxed{\text{イ}}(\cos \boxed{\text{ウ}}+i\sin \boxed{\text{ウ}})$

$1+i=\boxed{\text{エ}}(\cos \boxed{\text{オ}}+i\sin \boxed{\text{オ}})$

と表せるから，(1)より

${\displaystyle \frac{1+\sqrt{3}i}{1+i}}=\boxed{\text{カ}}(\cos \boxed{\text{キ}}+i\sin \boxed{\text{キ}})$

となる．ただし，$\boxed{\text{ウ}}\text{，}\boxed{\text{オ}}\text{，}\boxed{\text{キ}}$はいずれも$0$以上$\pi$未満とする．

　一方，三角関数を用いずに計算すると

${\displaystyle \frac{1+\sqrt{3}i}{1+i}}=\boxed{\text{ク}}+\boxed{\text{ケ}}i$

であるから，$\cos \boxed{\text{キ}}=\boxed{\text{コ}}\text{，}\sin \boxed{\text{キ}}=\boxed{\text{サ}}$である．

【２】(1)　定積分${\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}{e}^{x}dx$の値を計算すると$\boxed{\text{シ}}$となる．また，$a$を任意の定数とするとき，${\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}{e}^x\cos (x+\alpha )dx=-{\displaystyle \frac{1}{2}}(e^{\pi }-e^{-\pi })(\boxed{\text{ス}})$となる．

(2)　$x$の関数$f(x)=e^{\frac{x}{2}}\cos {\displaystyle \frac{x}{2}}$を使って，$t$の関数を$h(t)={\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}f(x)f(x-t)dx$と定めると

$h(t)={\displaystyle \frac{1}{4}}(\boxed{\text{セ}})e^{-\frac{t}{2}}(\sin {\displaystyle \frac{t}{2}}+\boxed{\text{ソ}})$

となる．したがって，$0$以上の任意の整数$k$に対して

$h(2k\pi )={\displaystyle \frac{1}{4}}(\boxed{\text{セ}}){(\boxed{\text{タ}})}^k$

となる．さらに

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }}h(2k\pi )={\displaystyle \frac{1}{4}}(\boxed{\text{チ}}-1)$

となる．

【３】　$p$を正の実数とし，座標平面上の$2$点$\mathrm{P}(1,p)\text{，}$および$\mathrm{Q}(2,0)$を考える．

(1)　$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$を通る直線$l$の方程式は

$\boxed{\text{ツ}}x+y+\boxed{\text{テ}}=0$

であり，線分$\mathrm{PQ}$の中点を通り$l$と直交する直線の方程式は

$x+\boxed{\text{ト}}y+\boxed{\text{ナ}}=0$

である．

(2)　$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$を通り，$y$軸に接する円を考える．このような円は各$p$に対して$2$個あるため，$y$軸との接点$\mathrm{R}(0,t)$のとり方も$2$通りあるが，ここでは$t$の値が小さい方を考えることにする．このとき，円の中心$\mathrm{C}$の座標は$t$と$p$を使って

$({\displaystyle \frac{3+\boxed{\text{ニ}}-p^2}{2}},t)$

と表すことができる．さらに，$\mathrm{CR}=\mathrm{CQ}=\mathrm{CP}$であることより，$t$は$p$で表すことができ，$t=\boxed{\text{ヌ}}$となる．$p$が正の実数の範囲を動くとき，この円の半径は$p=\boxed{\text{ネ}}$のときに最小値$\boxed{\text{ノ}}$をとる．

【４】　直線$y=x$を$l_1$とし，直線$y=2x$を$l_2$とする．$l_1$に関する対称移動を$g_1\text{，}{l}_2$に関する対称移動を$g_2$と呼ぶことにする．また，$g_1$を行った後で，さらに$g_2$を行う合成変換を$f$とすると，これは$1$次変換である．そこで$f$を表す行列を求めてみよう．

(1)　まず，直線$l_1$を$f$で移して得られる直線$l_3$を求めてみよう．そのために，$g_2$によって直線$l_1$上の点$\mathrm{P}(1,1)$が移される点${\mathrm{P}}^{\prime }$の座標を調べる．$\mathrm{P}$を通って$l_2$に垂直な直線上の点の座標を媒介変数$t$を使って

$(\boxed{\text{ハ}}t+1,t+1)$

と表すと，この点は$t=0$のときに$\mathrm{P}$に対応し，$t=\boxed{\text{ヒ}}$のときに直線$l_2$上の点となるので，$t=\boxed{\text{フ}}$のときに${\mathrm{P}}^{\prime }$に対応する．

　以上のことから，直線$l_3$の方程式は

$y=\boxed{\text{ヘ}}x+\boxed{\text{ホ}}$

となることがわかる．

(2)　次に，原点以外の任意の点$\mathrm{Q}$をとる．$\mathrm{Q}$を$g_1$で移した点を${\mathrm{Q}}^{\prime }\text{，}$さらに${\mathrm{Q}}^{\prime }$を$g_2$で移した点を${\mathrm{Q}}^{″}$とする．直線$l_1$上の点で，原点$\mathrm{O}$を中心に角$-\alpha$だけ回転移動させたときに$\mathrm{Q}$に一致するものを$\mathrm{R}$とすると，点${\mathrm{Q}}^{\prime }$は原点を中心に$\mathrm{R}$を角$\boxed{\text{マ}}$だけ回転移動させたものに一致する．したがって${\mathrm{Q}}^{″}$は，点$\mathrm{R}$を$g_2$によって直線$l_3$上に移した点を，原点を中心に角$\boxed{\text{ミ}}$だけ回転移動させたものに一致する．

　以上のことから，$2$直線$l_1$と$l_2$のなす角を$\theta (0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$としたとき，$f$は，原点を中心とする角$\boxed{\text{ム}}$の回転移動であることがわかる．ここで，点$\mathrm{P}(1,1)$は$f$によって${\mathrm{P}}^{\prime }$に移されるので

$\left(\begin{array}{cc}\cos \boxed{\text{ム}}& -\sin \boxed{\text{ム}}\\ \sin \boxed{\text{ム}}& \cos \boxed{\text{ム}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)=\boxed{\text{メ}}\left(\begin{array}{c}1\\ \boxed{\text{モ}}\end{array}\right)$

が成り立つ．

　以上より，$1$次変換$f$は有理数を成分とする行列

$\left(\begin{array}{cc}\boxed{\text{ヤ}}& -\boxed{\text{ユ}}\\ \boxed{\text{ユ}}& \boxed{\text{ヤ}}\end{array}\right)$

で表されることがわかる．