2010　立命館大　文系学部Ａ方式2月3日実施MathJax

【１】

(1)　点$(-1,-3)$を頂点とする放物線の方程式を$y=f(x)\text{，}2$点$(1,2)\text{，}(-3,2)$を通る放物線の方程式を$y=g(x)$とする．このとき，$f(x)=x^2+\boxed{\text{ア}}x+\boxed{\text{イ}}\text{，}g(x)=3x^2+\boxed{\text{ウ}}x+\boxed{\text{エ}}$となる．

　また，関数$y={\displaystyle \frac{g(x)}{f(x)}}$の$-2\leqq x\leqq -{\displaystyle \frac{1}{2}}$における最大値は$x=\boxed{\text{オ}}$のとき，$\boxed{\text{カ}}\text{，}$最小値は$x=\boxed{\text{キ}}$のとき$\boxed{\text{ク}}$である．

【１】

(2)　座標平面上に直線$l:y=-4x+18$と放物線$C:y=-x^2+6$がある．放物線$C$を$y$軸方向に平行移動させて直線$l$と接するようにしたものを$C_1$とする．直線$l$と放物線$C_1$の接点の座標は，$\boxed{\text{ケ}}$である．放物線$C$を$x$軸方向に平行移動させて直線$l$と接するようにしたものを$C_2$とする．直線$l$と放物線$C_2$の接点の座標は，$\boxed{\text{コ}}$である．直線$l$と放物線$C_1\text{，}{C}_2$で囲まれる図形の面積は，$\boxed{\text{サ}}$である．

【１】

(3)　点$\mathrm{A}(0,2,4)\text{，}\mathrm{B}(4,0,0)\text{，}\mathrm{C}(1,4,4)$が与えられている．点$\mathrm{O}$を原点，点$\mathrm{P}$を直線$\mathrm{AB}$上の点とし，$\mathrm{OP}\perp \mathrm{AB}$となるとき，点$\mathrm{P}$の座標は$\boxed{\text{シ}}$であり，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$を成分表示であらわすと$\overrightarrow{\mathrm{CP}}=\boxed{\text{ス}}$である．また，直線$\mathrm{CP}$が$zx$平面と交わる点を$\mathrm{Q}$とするとき，$\left|\overrightarrow{\mathrm{CP}}\right|$と$\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|$の比を簡単な整数比で表わすと，$\left|\overrightarrow{\mathrm{CP}}\right|:\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|=\boxed{\text{セ}}:\boxed{\text{ソ}}$となり，点$\mathrm{Q}$の座標は$\boxed{\text{タ}}$である．

【２】　年利率$r$で銀行に$1$年ごとの複利で$A_0$円貯金すると，$n$年後の金額$A_n$は，

$A_n={(1+r)}^n{A}_0\cdots \text{①}$

と表せる．$\text{①}$は，

「現在の価値$A_0$円は，$n$年後の$A_n$円に相当している．」

ということを表わしている．

　$\text{①}$を逆に用いると，

$A_0={\displaystyle \frac{1}{{(1+r)}^n}}{A}_n\cdots {\text{①}}^{\prime }$

となり，

「$n$年後の$A_n$円は，現在の価値に換算すると$A_0$円に相当する．」

ということを表わしている．

　いま，ある企業が，保有している土地の今後$10$年間の利用について，以下の表に示す$2$つの方法を検討している．

　${\text{①}}^{\prime }$を前提として，それぞれの場合について考えてみよう．（ただし，年利率は$r$とする．）

　まず，案１の駐車場にする場合，最初の年に$100$万円をかけて土地を整備する必要があるが，$10$年間は毎年$12$万円の収入が確実に受け取り得ることが分かっている．この状況を表にすると，下のようになる．

(1)　${\text{①}}^{\prime }$を用いると，$1$年後に得られる$12$万円を現在の価値に換算すると$\boxed{\text{チ}}$万円となる．また，$10$年間毎年得られる$12$万円について，すべてを現在の価値に換算した上で総額を考える．この総額を数学の和を表わす記号を用いずに書くと${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}}(1-{\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ト}}}})\text{万円}\cdots \text{②}$となる．

(2)　$\text{②}$は$r=0.03$とすると$\boxed{\text{ナ}}$万円となる．ただし，${(1.03)}^{10}=1.34$を用い，小数第$1$位を四捨五入し整数で答えよ．

　次に，案２の何もしない場合，最初の年にはお金はかからないが，今後$10$年間，毎年$C$万円の維持費がかかることが分かっている．この状況を表にすると，下のようになる．

(3)　再び年利率を$r$とし，今後$10$年間の維持費全体を現在の価値に換算すると${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}(1-{\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ネ}}}})$万円となる．

(4)　このように案１と案２を，現在の価値に換算した上で比較検討し，利潤$\text{（}=\text{収入}-\text{支出}\text{）}$が大きくなるように選択肢を選ぶと，${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ノ}}}{\boxed{\text{ハ}}}}(1-{\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ヒ}}}})-\boxed{\text{フ}}\geqq 0$のとき，企業は土地を駐車場にすべきであるという結論に達する．

【３】　ハートとスベードのカードそれぞれ$13$枚からなる計$26$枚のカードの束がある．

(1)　いま，そのカ−ドをよくきり，$3$枚のカードを同時に取り出すとき，ハートのカードが$2$枚で，スペードのカードが$1$枚である確率$P$を求めよ．

(2)　　次に，取り出したカードをもとに戻し，クラブのカードを$n$枚付け加えて$n+26$枚にしたあと，これらをよくきってから，同時に$3$枚のカードを取り出す．取り出したカードが赤のマーク（ハート）が$1$枚で，黒のマーク（スペードとクラブ）が$2$枚である確率$P_n$を求めよ．

　ただし，付け加えるクラブのカードの枚数$n$は，$1\leqq n\leqq 13$の範囲にあるものとする．

(3)　$P_n$を最大にする$n$の値を求めよ．また，そのときの$P_n$の値を求めよ．