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【3】 階段を一度に段か,または,段飛ばして段登る人が,ちょうど段ある階段を上まで登るときの登り方が何通りあるかを考える.ただし,とする.
(1) まず例としての場合,すなわち段の階段を登る場合を考えよう.すべての段を段ずつ登るとき,その登り方は通りである.つぎに,一度だけ段飛ばしで登るとき,その登り方は通りである.段飛ばしを回行って登るとき,その登り方は通りである.段の階段を登るとき,段飛ばしを回以上行うことはできないので,以上ですべての場合を尽くしている.このことから,この人が段の階段を登るとき,その登り方は通りあるとわかる.そこで,この人がちょうど段ある階段を登る方法の総数をと書き表すことにすると,であり,さらに上で求めたように,である.
(2) のとき,この人が段目も段目も踏まずに階段を登りきることはできないので,以下のつの場合ですべての登り方を尽くしている.つは,段目を踏んで最後に段登る場合であり,そのときの登り方の総数はを使って通りと表わすことができる.もうつは,段目を踏んで最後に段飛ばして登る場合であり,そのときの登り方の総数はを使って通りと表わすことができる.以上のことから,についての関係式
が得られる.そこでとおくと,常にであることから,より,とは関係式
を満たすことがわかる.
(3) この数列が収束するかどうかを調べよう.仮にであると仮定しよう.するとより,は方程式
を満たすことがわかり,となる.一方とより,のとき
が成り立つことがわかる.したがってのとき
が成り立つ.
の小数第位以下を切り捨てた値はなので,となる.よって数列はに収束する.