2010　立命館大　文系学部Ａ方式2月4日実施MathJax

【１】

(1)　$0$から$9$までの$10$個の数字の中から選んだ異なる$6$個の申し込み数字が，抽選によって決定される数字と一致している個数によって当選が決まるくじがある．抽選では，$6$個の「$\mathrm{A}$数字」と$1$個の「$\mathrm{B}$数字」の合計$7$個が選ばれる．このくじには$1$等から$4$等までの当選があり，その内容は下記のようになっている．

　このとき，$1$組の申し込み数字が，それぞれの等級に当選する確率は$1$等が$\boxed{\text{ア}}\text{，}2$等が$\boxed{\text{イ}}\text{，}3$等が$\boxed{\text{ウ}}\text{，}4$等が$\boxed{\text{エ}}$である．

【１】

(2)　整式$f(x)=2x^3+a{x}^2-8x+b$が$2x^2+5x-3$で割り切れるとき，定数$a\text{，}b$は$a=\boxed{\text{オ}}\text{，}b=\boxed{\text{カ}}$である．さらに，曲線$y=f\left(x\right)$上の点における接線で傾きが$4$となる接線の方程式は$y=4x+\boxed{\text{キ}}$と$y=4x-\boxed{\text{ク}}$であり，このときの接点の座標はそれぞれ$\boxed{\text{ケ}}$と$\boxed{\text{コ}}$である．

　ただし$\boxed{\text{キ}}$と$\boxed{\text{ク}}$は正の数とする．

　また，$\boxed{\text{ケ}}\text{の}x\text{座標}<\boxed{\text{コ}}\text{の}x\text{座標}$とする．

【１】

(3)　$\mathrm{AB}=3\text{，}\mathrm{BC}=8\text{，}\mathrm{CA}=7$とする$▵\mathrm{ABC}$において，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$の値は$\boxed{\text{サ}}$であり，$▵\mathrm{ABC}$の面積は$\boxed{\text{シ}}$となる．また，辺$\mathrm{BC}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{P}$とするとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$は$t$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\boxed{\text{ス}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\boxed{\text{セ}}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$と表わすことができ，$\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|$を最小にする$t$の値は$\boxed{\text{ソ}}$で，$\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|$の最小値は$\boxed{\text{タ}}$である．

【２】　ある国において，ジェットエンジンの売れる個数$\text{（}Q\text{）}$は，ジェットエンジンの価格$\text{（}P\text{）}$だけに依存しており，$P$と$Q$の関係は

$Q=5000-4P$

で表される．さらに，ジェットエンジンは企業$\mathrm{A}$と企業$\mathrm{B}$の$2$つの企業でのみ生産されている．$X_{\mathrm{A}}\text{，}{X}_{\mathrm{B}}$はそれぞれの企業が生産したジェットエンジンの個数とすると，$Q=X_{\mathrm{A}}+X_{\mathrm{B}}$という関係が成り立つ．（$X_{\mathrm{A}}\text{，}{X}_{\mathrm{B}}$は正の整数とする．）各企業がジェットエンジンを生産するのにかかる費用と，各企業が生産するジェットエンジンの個数との間の関係は次のようになる．

　企業$\mathrm{A}$の生産にかかる費用$\text{（}{C}_{\mathrm{A}}\text{）}$は

$C_{\mathrm{A}}={\displaystyle \frac{1}{4}}{X_{\mathrm{A}}}^2$

という関係で表わされ，企業$\mathrm{B}$の費用$\text{（}{C}_{\mathrm{B}}\text{）}$は

$C_{\mathrm{B}}={X_{\mathrm{B}}}^2$

という関係で表される．このとき，この国におけるジェットエンジンの価格$\text{（}P\text{）}$と各企業の生産個数$X_{\mathrm{A}}\text{，}{X}_{\mathrm{B}}$を求めたい．

　最初に，ジェットエンジンの価格$\text{（}P\text{）}$を$X_{\mathrm{A}}\text{，}{X}_{\mathrm{B}}$を使って書き直すと$P=\boxed{\text{チ}}$となる．次に，これを使って各企業の利潤を求める．利潤は

$[\text{価格}]\times [\text{生産個数}]-[\text{生産にかかる費用}]$

で計算できるので，企業$\mathrm{A}$の利潤は$\boxed{\text{ツ}}$となり，企業$\mathrm{B}$の利潤は$\boxed{\text{テ}}$となる．各企業は生産する個数を，もう一方の企業が生産する個数を一旦固定して，自企業の利潤が最大になるように決める．そこで，企業$\mathrm{A}$の利潤$\boxed{\text{ツ}}$を$X_{\mathrm{A}}$の$2$次関数であると見なすと，$X_{\mathrm{A}}=\boxed{\text{ト}}$のときに最大値をとる．同様に，企業$\mathrm{B}$の利潤$\boxed{\text{テ}}$を$X_{\mathrm{B}}$の$2$次関数であると見なすと，$X_{\mathrm{B}}=\boxed{\text{ナ}}$のときに最大値をとる．（ただし，各企業の生産するジェットエンジンの個数は正の整数とする．）

　このことから，$X_{\mathrm{A}}=\boxed{\text{ト}}$と$X_{\mathrm{B}}=\boxed{\text{ナ}}$より，企業$\mathrm{A}$は$\boxed{\text{ニ}}$個のジェットエンジンを生産し，企業$\mathrm{B}$は$\boxed{\text{ヌ}}$個のジェットエンジンを生産する．そのときの価格$\text{（}P\text{）}$は$\boxed{\text{ネ}}$である．ただし，価格は整数であるとは限らない．

【３】　実数$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$の間に$\alpha <\beta <\gamma$となる関係がある．このとき以下の問いに答えよ．

(1)　$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$がこの順序で等差数列になっているとき，$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$の間に成り立つ関係式を求めよ．

(2)　$\sin \alpha \text{，}\sin \beta \text{，}\sin \gamma$がこの順序で等比数列になっているとき，$\sin \alpha \text{，}\sin \beta \text{，}\sin \gamma$の間に成り立つ関係式を求めよ．

(3)　$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$が(1)，(2)を同時に満たすとき，等差数列$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$の公差を求めよ．

(4)　$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$が(1)，(2)を同時に満たすとき，

$\sin 2\alpha \text{，}\sin 2\beta \text{，}\sin 2\gamma$

もまた，この順序で等比数列になることを示せ．