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【2】 ある大学の学生ボルトが,投資に使えるお金をドル持って,収益が不確実な証券つ(証券と証券)にどのように投資しようかと考えている.現在,証券と証券はどちらもつドルで売られている.証券と証券のつあたりの収益とは以下に示す表のようにつの事象(事象1と事象2)に依存して決まるものとする.なお,事象1と事象2は互いに排反の関係にあり,事象1が起きる確率は事象2が起きる確率はであるものとする.
ボルトの投資収益に対する満足度は収益総額によってと表され,の範囲内で満足度を表わすこととする.なお,以下の問いで,期待収益とは収益の期待値を,期待効用とは満足度の期待値のことを示す.
(1) 証券のつあたりの期待収益はドルで,証券にドルを全て投資したときのボルトの期待効用はとなる.また,証券のつあたりの期待収益はドルとなり,ドルをすべて証券に投資したときの期待効用はとなる.
(2) ドルを全額使って証券と証券を混ぜて買うことにより,事象1と事象2のどちらが発生しても同じ収益総額が得られる組合せを考える.このときの証券の割合はとなり,その組合せにドルをすべて投資したときのボルトの期待効用はとなる.
(3) 同じようにドルを全額使って証券と証券を混ぜて買うことにより,こんどはボルトの期待効用を最大にする組合せを考える.この時の証券の割合はとなり,その組合せにドルをすべて投資したときの期待効用はとなる.
【3】 下の囲みの中は,いずれも次方程式から得られる関係式である.
(1) 定数項およびの係数の規則性からを求めよ.
(2) 定数項からなる数列
の一般項をとする.このとき,次方程式を満たすについて
が成り立つことを数学的帰納法を用いて示せ.ただし,必要ならば次の関係式を用いよ.
(3) 数列の一般項を求めよ.
(4)
ある学生によると,一辺の長さがの正方形を図のようにつに分割して並びかえたところ面積の異なる長方形ができたという.
並びかえ | ||
「正方形を切って並びかえたら,面積の異なる長方形になった」という矛盾について考えよう.
という数字の並びはいずれも数列の項であるから,面積についてこれを一般化すると
正方形の面積:,長方形の面積:
となる.とおき,の値を求め,これらつの面積が等しくなることがあるかどうかを調べよ.