2010　立命館大　文系学部Ａ方式2月7日実施MathJax

【１】

(1)　点$(7,1)$を通り，円$x^2+y^2=25$に接する直線の方程式は，

$\boxed{\text{ア}}x+\boxed{\text{イ}}y=25$

$\boxed{\text{ウ}}x-\boxed{\text{エ}}y=25$

となり，接点の座標は$x$座標の小さい方からそれぞれ$\boxed{\text{オ}}\text{，}\boxed{\text{カ}}$である．

　また，この二つの接点と点$(7,1)$を通る円の方程式は，

${(x-\boxed{\text{キ}})}^2+{(y-\boxed{\text{ク}})}^2=\boxed{\text{ケ}}$

である．

【１】

(2)　$x$についての$3$次関数$f(x)=x^3+a{x}^2+bx-6$において，係数の和が$0$になり，$f(x)=0$の解がすべて整数となるときの定数$a\text{，}b$の値の組$(a,b)$は$a$の値の小さい方から，$\boxed{\text{コ}}\text{，}\boxed{\text{サ}}\text{，}\boxed{\text{シ}}\text{，}\boxed{\text{ス}}$となる．このうち，$f(x)=0$の解がすべて正の整数になるものについて，$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれる図形のうち，第$1$象限にある図形の面積は$\boxed{\text{セ}}$である．

【１】

(3)　$▵\mathrm{ABC}$は$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=6\text{，}\angle \mathrm{A}={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$の二等辺三角形である．辺$\mathrm{AC}$に関して点$\mathrm{B}$と反対側に$\angle \mathrm{APC}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$となるように点$\mathrm{P}$をとる．$\angle \mathrm{PAC}=\theta$とするとき，$▵\mathrm{APB}$の面積$S$を$\theta$を用いて表わすと，

$S=\boxed{\text{ソ}}\sin (\boxed{\text{タ}}\theta +\boxed{\text{チ}}\pi )+\boxed{\text{ツ}}$

となる．

　また，$▵\mathrm{APB}$の面積$S$を最大にするときの$\theta$の値は，$\theta =\boxed{\text{テ}}$で，そのときの面積$S$の値は，$S=\boxed{\text{ト}}$である．

【２】　ある大学の学生ボルトが，投資に使えるお金を$100$ドル持って，収益が不確実な証券$2$つ（証券$a$と証券$b$）にどのように投資しようかと考えている．現在，証券$a$と証券$b$はどちらも$1$つ$10$ドルで売られている．証券$a$と証券$b$の$1$つあたりの収益${\omega }_a$と${\omega }_b$は以下に示す表のように$2$つの事象（事象１と事象２）に依存して決まるものとする．なお，事象１と事象２は互いに排反の関係にあり，事象１が起きる確率は$40\%\text{，}$事象２が起きる確率は$60\%$であるものとする．

　ボルトの投資収益に対する満足度は収益総額$W$によって$U\left(W\right)=W(310-W)$と表され，$0\leqq W\leqq 155$の範囲内で満足度を表わすこととする．なお，以下の問いで，期待収益とは収益の期待値を，期待効用とは満足度の期待値のことを示す．

(1)　証券$a$の$1$つあたりの期待収益は$\boxed{\text{ナ}}$ドルで，証券$a$に$100$ドルを全て投資したときのボルトの期待効用は$\boxed{\text{ニ}}$となる．また，証券$b$の$1$つあたりの期待収益は$\boxed{\text{ヌ}}$ドルとなり，$100$ドルをすべて証券$b$に投資したときの期待効用は$\boxed{\text{ネ}}$となる．

(2)　$100$ドルを全額使って証券$a$と証券$b$を混ぜて買うことにより，事象1と事象２のどちらが発生しても同じ収益総額が得られる組合せを考える．このときの証券$a$の割合は$\boxed{\text{ノ}}\%$となり，その組合せに$100$ドルをすべて投資したときのボルトの期待効用は$\boxed{\text{ハ}}$となる．

(3)　同じように$100$ドルを全額使って証券$a$と証券$b$を混ぜて買うことにより，こんどはボルトの期待効用を最大にする組合せを考える．この時の証券$a$の割合は$\boxed{\text{ヒ}}\%$となり，その組合せに$100$ドルをすべて投資したときの期待効用は$\boxed{\text{フ}}$となる．

【３】　下の囲みの中は，いずれも$2$次方程式$x^2-x-1=0$から得られる関係式である．

(1)　定数項および$x$の係数の規則性から$x^{10}$を求めよ．

(2)　定数項からなる数列

$1\text{，}1\text{，}2\text{，}3\text{，}5\text{，}\cdots \text{①}$

の一般項を$a_n$とする．このとき，$2$次方程式$x^2-x-1=0$を満たす$x$について

$x^n=a_n\cdot x+a_{n-1}\text{（}n\geqq 2\text{）}$

が成り立つことを数学的帰納法を用いて示せ．ただし，必要ならば次の関係式を用いよ．

$a_n+a_{n+1}=a_{n+2}$

(3)　数列$\text{①}$の一般項を求めよ．

(4)　

「正方形を切って並びかえたら，面積の異なる長方形になった」という矛盾について考えよう．

　$5\text{，}8\text{，}13\text{，}21$という数字の並びはいずれも数列$\text{①}$の項であるから，面積についてこれを一般化すると

正方形の面積：${a_n}^2$，長方形の面積：$a_{n-1}\times a_{n+1}$

となる．$a_{n-1}\times a_{n+1}-{a_n}^2=f(n)$とおき，$f(n)$の値を求め，これら$2$つの面積が等しくなることがあるかどうかを調べよ．