2010　関西大　理系学部2月5日実施MathJax

【１】　$x$の関数$f(x)=e^x+8e^{-x}-6$があり，$y=f(x)$の表すグラフを$C$とする．

(1)　$f(x)=0$を満たす$x$の値を求めよ．

(2)　$f(x)$の極値を求め，曲線$C$の凹凸，$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)\text{，}\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$を調べて，$C$の概形をかけ．

(3)　曲線$C$と$x$軸で囲まれる図形の面積$S$を求めよ．

【２】　$\mathrm{O}(0,0,0)$を原点とする座標空間内に，$3$点$\mathrm{A}(4,2,4)\text{，}\mathrm{B}(5,4,2)\text{，}\mathrm{C}(3,2,5)$がある．このとき，次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\boxed{\text{①}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\boxed{\text{②}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\boxed{\text{③}}$である．

(2)　$\angle \mathrm{BAC}=\boxed{\text{④}}$であり，三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$\boxed{\text{⑤}}$である．

(3)　点$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{BC}$に下ろした垂線と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$は$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\boxed{\text{⑥}}$と表される．

(4)　四面体$\mathrm{OABC}$の体積は$\boxed{\text{⑦}}$である．また，点$\mathrm{A}$から平面$\mathrm{OBC}$に下ろした垂線と平面$\mathrm{OBC}$との交点を$\mathrm{H}$としたとき，線分$\mathrm{AH}$の長さは$\boxed{\text{⑧}}$である．

【３】　$2$次の正方行列$M$が，$M\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)\text{，}M\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 4\end{array}\right)$を満たしている．次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　$M=\boxed{\text{①}}$である．

(2)　$P=\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$とするとき，行列$P$の逆行列$P^{-1}$は$P^{-1}=\boxed{\text{②}}$となり，$P^{-1}MP=\boxed{\text{③}}$である．

　したがって，$n$を自然数とするとき，$M^n={\displaystyle \frac{1}{3}}\boxed{\text{④}}$である．

(3)　点$(2,1)$が$M$の表す$1$次変換によって移る点を$\mathrm{Q}$とする．さらに，点$\mathrm{Q}$を原点$\mathrm{O}(0,0)$を中心とし，反時計回りに${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$だけ回転して得られる点の座標は$\boxed{\text{⑤}}$である．

(4)　(2)で求めた$M^n$の表す$1$次変換によって，$2$点$(1,0)\text{，}(0,1)$が移される点をそれぞれ${\mathrm{A}}_n\text{，}{\mathrm{B}}_n$として，三角形$\mathrm{O}{\mathrm{A}}_n{\mathrm{B}}_n$の面積を$S_n$とするとき，${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{S_n}}=\boxed{\text{⑥}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　大中小$3$つのさいころを同時に投げるとき，出た目の数がすべて$3$以下である確率は$\boxed{\text{①}}$であり，出た目の数のうち最大のものが$3$である確率は$\boxed{\text{②}}$である．また，出た目の数の積が$3$の倍数となる確率は$\boxed{\text{③}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(2)　座標平面上に直線$l:y=3x$がある．直線$l$に関して点$(0,3)$と対称な点の座標は$\boxed{\text{④}}$である．また，直線$l$に関して$y$軸と対称な直線の方程式は$\boxed{\text{⑤}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(3)　$\theta$の方程式$\sin \theta +a\cos \theta +1-a^2=0$（$a$は定数）がある．$a=1$のとき，この方程式の$0\leqq \theta <2\pi$を満たす解は小さい方から順に$\boxed{\text{⑥}}\text{，}\boxed{\text{⑦}}$である．また，この方程式が解をもつとき，定数$a$のとりうる値の範囲は$\boxed{\text{⑧}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(4)　自然数$n$に対して，$n^2$を$7$で割ったときの余りを$a_n\text{，}{n}^2$以下で最大の$7$の倍数を$b_n$として，$2$つの数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$を定める．このとき，$a_1=1\text{，}{b}_1=0\text{，}{a}_2=4\text{，}{b}_2=0$であり，一般に$a_n+b_n=\boxed{\text{⑨}}$である．また，${\displaystyle \sum _{k=1}^{30}}(a_k+b_k)=\boxed{\text{⑩}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(5)　$I_n={\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{x^{2n}}{x^2+1}}dx\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$とするとき，$I_0=\boxed{\text{⑪}}$であり，$I_{n+1}+I_n$は$n$を用いて$\boxed{\text{⑫}}$と表される．したがって，$I_5=\boxed{\text{⑬}}$である．