2010　関西大　総合情報学部2月2日実施MathJax

$(n+3)a_n=4(a_1+a_2+\cdots +a_n)\text{（}n\geqq 1\text{）}$

を満たしている．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$n{a}_{n+1}=(n+3)a_n\text{（}n\geqq 1\text{）}$を示せ．

(2)　$n\geqq 1$に対して$b_n={\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}}$とおくとき， $b_1\text{，}{b}_2\text{，}\cdots \text{，}{b}_n$の積$b_1{b}_2\cdots b_n$を$n$を用いて表せ．

(3)　一般項$a_n$を求めよ．

(ア)　$2{\log }_a(x+a)>{\log }_a(2x+2)$

について，次の問いに答えよ．

(1)　不等式(ア)を満たす$x$の範囲を求めよ．

(2)　不等式(ア)を満たす正の整数$x$がただ$1$つ存在するような$a$の値の範囲を求めよ．

　四面体$\mathrm{ABCD}$は$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=\mathrm{BD}=\mathrm{DC}=1\text{，}\mathrm{BC}=\mathrm{AD}=2x$である．辺$\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{AD}$の中点をそれぞれ$\mathrm{M}\text{，}\mathrm{N}$とする．$▵\mathrm{AMD}$において，

$\mathrm{AM}=\mathrm{DM}=\boxed{\text{①}}$

となる．このことより，$x$のとりうる値の範囲は$0<x<\boxed{\text{②}}$である．

　$▵\mathrm{AMD}$の面積は$\boxed{\text{③}}$となる．$\angle \mathrm{AMB}=\angle \mathrm{DMB}=90°$であるから，直線$\mathrm{BC}$は平面$\mathrm{AMD}$に垂直である．したがって，この四面体の体積を$V$とすると

$V=\boxed{\text{④}}$

である．体積$V$は，$x=\boxed{\text{⑤}}$のとき最大値$\boxed{\text{⑥}}$をとる．

　$\mathrm{A}$君，$\mathrm{B}$君の$2$人が，それぞれサイコロを投げて出た目を比べる．大きい目を出した者の得点は$1\text{，}$小さい目を出した者の得点は$0$となる試行を考える．ただし，$2$つのサイコロの出た目が同じならば，$\mathrm{A}$君と$\mathrm{B}$君のいずれの得点も$0$とする．

(1)　この試行を$1$回行ったとき，$\mathrm{A}$君の得点が$1$となる確率を$p\text{，}\mathrm{B}$君の得点が$1$となる確率を$q\text{，}\mathrm{A}$君と$\mathrm{B}$君のいずれの得点も$0$である確率を$r$とするとき

$p=\boxed{\text{①}}\text{，}q=\boxed{\text{②}}\text{，}r=\boxed{\text{③}}$

である．

(2)　この試行を$2$回行ったとき，$\mathrm{A}$君の合計得点が$\mathrm{B}$君の合計得点より大きくなる確率は$\boxed{\text{④}}$である．

(3)　この試行を$2$回行ったとき，$\mathrm{A}$君の合計得点が$0$である確率は$\boxed{\text{⑤}}$である．

(4)　この試行を$2$回行ったとき，$\mathrm{A}$君の合計得点の期待値は$\boxed{\text{⑥}}$である．