2010　関西大　総合情報学部2月4日実施MathJax

【１】　$2$つの$2$次関数のグラフ

$C_1:y=x^2$

$C_2:y=-x^2+bx+c\text{（}b\text{，}c\text{は定数）}$

は異なる$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$で交わっており，$\mathrm{P}$での$C_1$の接線と$C_2$の接線は互いに直交している．$\mathrm{P}$の座標を$(\alpha ,{\alpha }^2)$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$b$を$\alpha$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{Q}$の座標を$\alpha$を用いて表せ．

(3)　$\mathrm{Q}$において，$C_1$の接線と$C_2$の接線は互いに直交することを示せ．

【２】　$a\text{，}b$は実数の定数とし，

$f(x)={\sin }^{3}x+3a{\cos }^{2}x+b$

とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$|f({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\left)\right|\leqq 1$であるとき，$b$のとりうる値の範囲を求めよ．

(2)　すべての実数$x$に対して$|f(x)|\leqq 1$が成立しているとき，$b=0$を示せ．

(3)　すべての実数$x$に対して$|f(x)|\leqq 1$が成立しているとき，$a$のとりうる値の範囲を求めよ．

【３】　次の$\boxed{}$をうめよ．

　$1$辺の長さが$1$である正五角形$\mathrm{ABCDE}$がある．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{b}$とおく．$\mathrm{BD}=\mathrm{AD}$であるから$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$は

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\boxed{\text{①}}$

である．

　ベクトル$\overrightarrow{b}$の長さを$x$とおく．$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}x$を用いて表すと，

$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\boxed{\text{②}}$

である．$\mathrm{AC}=\mathrm{AD}$であるので，これから$x$を求めると

$x=\boxed{\text{③}}$

である．$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角は$72°$であるので，

$\cos 72°=\boxed{\text{④}}$

である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

　何人かの人をグループに分ける場合の数を考える．ただし，どのグループにも少なくとも$1$人は入るものとする．

(1)　$5$人を$3$つのグループに分ける場合の数は$\boxed{\text{①}}$通りである．

(2)　$6$人を$3$人ずつの$2$つのグループに分ける場合の数は$\boxed{\text{②}}$通りである．

(3)　$9$人を人ずつの$3$つのグループに分ける場合の数は$\boxed{\text{③}}$通りである．

(4)　男子,$5$人，女子$4$人の合計$9$人を$3$人ずつの$3$つのグループに分ける場合の数は$\boxed{\text{④}}$通りである．ただし，どのグループにも男子と女子が含まれているものとする．