2010　関西大　文系学部2月6日実施MathJax

【１】　次の条件

$a_1=2\text{，}{a}_{n+1}=2a_n+n!\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

によって定まる数列$\{a_n\}$について，以下の問いに答えよ．

(1)　$b_n={\displaystyle \frac{a_n}{(n-1)!}}$とおく．ただし，$0!=1$とする．$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表せ．

(2)　一般項$a_n$を求めよ．

【２】　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}$の$5$人それぞれが，整数$1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{，}5$から$1$つを選ぶ試行を行う．ただし，$5$人は互いに，他人の選択とは独立に自分の選択を行い，各自がそれぞれの数を選ぶ確率は${\displaystyle \frac{1}{5}}$ずつとする．次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　$4$人が同じ数を選び，残りの$1$人が他の$4$人とは異なる数を選ぶ確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{①}}}{5^3}}$である．

(2)　$5$人とも別の数を選ぶ，つまり，どの数も誰か$1$人から選ばれる確率を$p$とすると，$p={\displaystyle \frac{\boxed{\text{②}}}{5^4}}$である．等式

${\log }_{10}p=i{\log }_{10}2+j{\log }_{10}3+k$

を満たす整数$i\text{，}j\text{，}k$が存在するが，このとき$i=\boxed{\text{③}}\text{，}j=\boxed{\text{④}}\text{，}k=\boxed{\text{⑤}}$である．自然数$n$に対し，$n$回この試行を行い，$n$回連続して$5$人とも別の数を選ぶ確率を$p_n$とおく．$p_n<{10}^{-10}$となる最小の$n$は$\boxed{\text{⑥}}$である．ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}{\log }_{10}3=0.4771$としてこれを用いてよい．

【３】　放物線$y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-x-1$を$F$とおく．$l_1$と$l_2$は$F$の接線であり，互いに垂直に交わっているとする．次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　$l_1$の接点の$x$座標を$a$としたとき，$l_2$の接点の$x$座標を$a$を用いて表すと$\boxed{\text{①}}$である．

(2)　$l_1$が点$(-1,-4)$を通り，その傾きが正であるとする．このとき，$l_1$と$F$との接点の座標は$\boxed{\text{②}}$であり，$l_1$の方程式は$\boxed{\text{③}}$である．また，$l_2$の方程式は$\boxed{\text{④}}$であり，$F\text{，}{l}_1\text{，}$および$l_2$で囲まれた図形の面積は$\boxed{\text{⑤}}$となる．