2010　関西大　全学部・センター理系2月7日実施MathJax

【１】　曲線

$C:y={\displaystyle \frac{\log x}{\sqrt{x}}}\text{（}x>0\text{）}$

について，次の問いに答えよ．

(1)　増減，凹凸を調べて，$y={\displaystyle \frac{\log x}{\sqrt{x}}}$のグラフの概形を，解答欄の座標平面上にかけ．ただし，$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\log x}{\sqrt{x}}}=0$である．

(2)　$C$の変曲点における接線$l$と$x$軸との交点の座標を求めよ．

(3)　$l$を(2)の接線とする．曲線$C\text{，}$直線$l$および$x$軸によって囲まれた部分を，軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

【２】　次の$\boxed{}$をうめよ．

　$x$の方程式

${\log }_{2}x+a{\log }_{x}4-2a=0\cdots$(1)

が$1<x\leqq 8$において，解をもつような定数$a$の範囲を求める問題を考える．これは，${\log }_{2}x=t$とおいて(1)を変形すると，$t$の$2$次方程式

$t^2+pt+q=0\cdots$(2)

が

$\boxed{\text{①}}<t\leqq \boxed{\text{②}}\cdots$(3)

において解をもつような定数$a$の範囲を求める問題に帰着される．ここで$p\text{，}q$は$t$を含まない定数であって，$p=\boxed{\text{③}}\text{，}q=\boxed{\text{④}}$である．

　(2)が異なる$2$つの解をもつとき，そのうちの$1$つだけが(3)の範囲に存在するときの$a$の範囲を求めると，$\boxed{\text{⑤}}$である．

　(2)の解がすべて，(3)の範囲に存在するときの$a$の範囲を求めると，$\boxed{\text{⑥}}$である．

　よって(1)が解をもつような$a$の範囲は$\boxed{\text{⑦}}$である．

【３】　$A$は$2$次の正方行列で，$A^2+E=O$を満たすとする．ただし，$E$は単位行列，$O$は零行列を表す．$a\text{，}b$を実数として，次の問いに答えよ．

(1)　$pA+qE=O$（$p\text{，}q$は実数）ならば，$p=q=0$となることを示せ．

(2)　${(aA+bE)}^3$を$\alpha A+\beta E$（$\alpha \text{，}\beta$は実数）の形に表せ．

(3)　${(aA+bE)}^3=E$となる$a\text{，}b$の組をすべて求めよ．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　$a\text{，}b$を実数の定数とする．関数

$\{\begin{array}{ll}\sqrt{x^2-2}+3& \text{（}x\geqq 2\text{）}\\ a{x}^2+bx& \text{（}x<2\text{）}\end{array}$

が微分可能になるのは$a=\boxed{\text{①}}\text{，}b=\boxed{\text{②}}$のときである．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(2)　$m$を整数とする．$x^2+(m+3)x+3m+1=0$の解がすべて整数となる$m$の値は$\boxed{\text{③}}$と$\boxed{\text{④}}$（ただし，$\boxed{\text{③}}<\boxed{\text{④}}$）である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(3)　${\displaystyle \frac{k}{(k+1)!}}={\displaystyle \frac{1}{k!}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{⑤}}}{(k+1)!}}$であるから，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{k}{(k+1)!}}=\boxed{\text{⑥}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(4)　点$(1,2)$を通る直線$l$は，放物線$y={\displaystyle \frac{1}{5}}{x}^2$と原点$\mathrm{O}$以外の$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$で交わり，$\angle \mathrm{POQ}$は$90$度である．このとき$l$の方程式は$y=\boxed{\text{⑦}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(5)　$x^{100}$を$x^2+x+1$で割ったときの余りは$\boxed{\text{⑧}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(6)　$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$のとき，

${\displaystyle \frac{\sin x}{\sqrt{{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x+\sin 2x}}}+{\displaystyle \frac{\cos x}{\sqrt{{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x-\sin 2x}}}$

を$\tan 2t$の式で表すと$\boxed{\text{⑨}}$である．