2010　関西大　全学部日程文系学部2月8日実施MathJax

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．

　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とすると

$S_n=2a_n-{\displaystyle \frac{4^{n+1}}{3}}-{\displaystyle \frac{2}{3}}$

が成り立つ．このとき$a_n$を$n$と$a_{n-1}$を用いて表すと

$a_n=\boxed{\text{①}}\text{（}n\geqq 2\text{）}$

となる．いま，$b_n={\displaystyle \frac{a_n}{4^n}}$とおくと$b_1=\boxed{\text{②}}$であり，$b_n$は$n$を用いて$b_n=\boxed{\text{③}}$と表される．したがって，$a_n$は$n$を用いて

$a_n=\boxed{\text{④}}$

と表される．また，$a_n\geqq {10}^6$となる最小の自然数$n$の値は$\boxed{\text{⑤}}$である．

【２】　$\alpha =1-\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9}$とおく．(1)の問いに答え，(2)の$\boxed{}$を自然数でうめよ．

(1)　${\left({\displaystyle \frac{4-\alpha }{\alpha }}\right)}^3$は自然数である．この自然数を求めよ．

(2)　次の$3$次方程式は$\alpha$を解にもつ．

$x^3-\boxed{\text{①}}{x}^2+\boxed{\text{②}}x-\boxed{\text{③}}=0$

【３】　次の関数$f(x)$について以下の問いに答えよ．

$f(x)={\log }_2(x+1)+{\log }_{4}2(5-x)$

(1)　$f(x)$が定義されるような$x$の値の範囲を求めよ．

(2)　$f(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}{\log }_{2}g(x)$と表すとき$g(x)$を求めよ．

(3)　$x$が(1)で求めた範囲を動くとき，(2)で求めた$g(x)$の最大値を求めよ．

(4)　$f(x)$の最大値とそのときの$x$の値を求めよ．