2010　関西大　全学部日程総合情報学部2月8日実施MathJax

【１】　一辺の長さが$1$である正方形$\mathrm{ABCD}$の辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{P}$をとり，$\mathrm{BP}=t$とする．$\mathrm{B}$から線分$\mathrm{AP}$に下ろした垂線を$\mathrm{BQ}$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{b}$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{DQ}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}t$を用いて表せ．

(2)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{DQ}}\right|=1$であるときの$t$の値を求めよ．

【２】　$2$つの$3$次関数のグラフ

$C_1:y=f(x)=x^3-3x^2+ax+4$

$C_2:y=g(x)=-x^3+b{x}^2+2x+c$

がある．$a\text{，}b\text{，}c$は定数である．

　$C_1$と$C_2$の共有点は$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}\text{（}\mathrm{Q}\ne \mathrm{P}\text{）}$の$2$点である．$\mathrm{P}$における$C_1$の接線と$C_2$の接線は一致し，この接線は$\mathrm{Q}$を通過している．また，$\mathrm{P}$の$x$座標は$2$である．

　このとき，次の問いに答えよ．

(1)　この接線の方程式を$a$のみを用いて表せ．さらに，$\mathrm{Q}$の$x$座標を求めよ．

(2)　$a\text{，}b\text{，}c$を求めよ．

【３】　次の$\boxed{}$をうめよ．

　$\sin \theta \text{，}\cos \theta$は

$\sin \theta +\cos \theta =2\sin 10°$

を満たしている．このとき，積$\sin \theta \cos \theta$を$\cos 20°$を用いて表すと，

$\sin \theta \cos \theta =\boxed{\text{①}}$

となる．

　また，${\displaystyle \frac{{\sin }^3\theta +{\cos }^3\theta }{\sin \theta +\cos \theta }}$を$\cos 20°$を用いて表すと，

${\displaystyle \frac{{\sin }^3\theta +{\cos }^3\theta }{\sin \theta +\cos \theta }}=\boxed{\text{②}}$

である．このことより，${\sin }^3\theta +{\cos }^3\theta$の数値は，

${\sin }^3\theta +{\cos }^3\theta =\boxed{\text{③}}$

である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

　$5\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の正の整数で，各桁の数字が$2\text{，}3\text{，}4$のいずれかであるものを考える．

(1)　$4$の倍数となるものは，全部で$\boxed{\text{①}}$個ある．

(2)　$2\text{，}3\text{，}4$のうち，ちょうど$2$種類の数字が現れているものは，全部で$\boxed{\text{②}}$個ある．

(3)　$2\text{，}3\text{，}4$の$3$種類の数字がすべて現れているものは，全部で$\boxed{\text{③}}$個ある．

(4)　各桁の数字$5$個の総和が$13$となるものは，全部で$\boxed{\text{④}}$個ある．