2010　関西大　センター中期　理系学部2月8日実施MathJax

【１】　関数$f(\theta )={\sin }^3\theta -\sin {\displaystyle \frac{3\theta }{2}}\cos {\displaystyle \frac{\theta }{2}}$の$0$から実数$x$までの定積分

$F(x)={\displaystyle {\int }_0^x}f(\theta )d\theta$

について考える．次の$\boxed{}$をうめよ．

　${\sin }^3\theta =(1-{\cos }^2\theta )\sin \theta$であることを利用すると，

${\displaystyle \int }{\sin }^3\theta d\theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{①}}}{3}}+C$

と表される．ただし，$C$は積分定数を表す．

　一方，

${\displaystyle \int }\sin {\displaystyle \frac{3\theta }{2}}\cos {\displaystyle \frac{\theta }{2}}d\theta =-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{②}}}{4}}+C$

と表される．ここで$t=\cos x$とおくと，

${\displaystyle {\int }_0^x}({\sin }^3\theta -\sin {\displaystyle \frac{3\theta }{2}}\cos {\displaystyle \frac{\theta }{2}})d\theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{③}}}{6}}$

と$t$の$3$次式で表される．したがって，$F(x)$は

$F(x)={\displaystyle \frac{1}{3}}(t+\boxed{\text{④}})(t+\boxed{\text{⑤}})(t+\boxed{\text{⑥}})$

と因数分解される．ただし，$\boxed{\text{④}}<\boxed{\text{⑤}}<\boxed{\text{⑥}}$とする．

　$F(x)=0$となる$x>0$を小さい順に$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3\text{，}\cdots$とすると，$a_n=\boxed{\text{⑦}}$である．また，関数$F(x)$の最大値は$\boxed{\text{⑧}}$であり，最小値は$\boxed{\text{⑨}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　行列の積$\left(\begin{array}{ccc}4& -4& -11\\ -6& 7& 17\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ 2& -1\\ -1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 1\end{array}\right)$を計算すると$\boxed{\text{①}}$となる．

【２】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(2)　$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$とする．実数$a_n$を$A+A^2+A^3+\cdot +A^n=a_{n}A$となるようにとると，$a_n$は$n$を用いて$\boxed{\text{②}}$と表せる．

【２】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(3)　$A$は$2$次の正方行列で，$A^2+A+E=O$を満たしている．このとき，$A-E$の逆行列を$aA+bE$（$a\text{，}b$は実数）の形に表すと$\boxed{\text{③}}$となる．

【２】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(4)　行列$\left(\begin{array}{cc}a+1& 3\\ 1& a+3\end{array}\right)$で表される$1$次変換を$f$とする．$f$を$2$回合成した$f\circ f$による点$(0,1)$の像は直線$y=x+1$上にあるが，$f$による点$(0,1)$の像は$y=x+1$上にないとする．このとき，$a=\boxed{\text{④}}$となる．

【２】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(5)　$A=\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ -2& 3\end{array}\right)$とする．このとき，${(A-E)}^2=O$となる．したがって，$2$以上の整数$k$に対し${(A-E)}^k=O$となる．$A^n$は$n$を用いて$\boxed{\text{⑤}}$と表せる．

【２】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(6)　座標平面上に直線$y=kx\text{（}k\ne 0\text{）}$がある．座標平面上の点$\mathrm{P}(x,y)$に対して，点$\mathrm{P}$から$y=kx$へ下ろした垂線と$y=kx$との交点を${\mathrm{P}}^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$とする．点$\mathrm{P}$を点${\mathrm{P}}^{\prime }$に移す$1$次変換を表す行列$A$が$\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{9}{10}}& -{\displaystyle \frac{3}{10}}\\ -{\displaystyle \frac{3}{10}}& {\displaystyle \frac{1}{10}}\end{array}\right)$であるとき，$k$の値は$\boxed{\text{⑥}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(7)　$J=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$とし，$a\text{，}b$は$a^2+b^2=1\text{，}ab>0$を満たす実数とする．${(aE+bJ)}^3=E$が成り立つとき，$a=\boxed{\text{⑦}}\text{，}b=\boxed{\text{⑧}}$である．

【３】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　関数$f(x)=x^{\log x}\text{（}x>0\text{）}$の導関数は

$f^{\prime }(x)=2\log x\cdot \boxed{\text{①}}$

である．

【３】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(2)　方程式$x^2-y^2=4x-2$で与えられる$x$の関数$y$の導関数は，$y\ne 0$のとき，

${\displaystyle \frac{dy}{dx}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{②}}}{y}}$

である．

【３】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(3)　関数$f(x)=x^{10}$を定数$a_1\text{，}{a}_1\text{，}\cdots \text{，}{a}_{10}$を用いて

$f(x)=a_0+a_1(x-1)+a_2{(x-1)}^2+\cdots +a_9{(x-1)}^9+a_{10}{(x-1)}^{10}$

と表すとすると，$a_4=\boxed{\text{③}}$である．

【３】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(4)　曲線$y=e^{x^2}\log x\text{（}x>0\text{）}$に対して，$x=1$における接線の方程式は，

$y=\boxed{\text{④}}$

となる．

【３】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(5)　関数$y={\displaystyle \frac{e^{x^2}}{\sqrt{x}}}\text{（}x>0\text{）}$の最小値は，$x=\boxed{\text{⑤}}$のとき$\boxed{\text{⑥}}$である．

【３】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(6)　$n$は整数とする．関数$f(x)={\displaystyle \frac{x+n}{x^2-6}}$が極値をとらないような$n$の最小値は$\boxed{\text{⑦}}$である．

【３】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(7)　関数$f(x)$は$x=2$において微分可能で，$f^{\prime }(2)=4$かつ

$\underset{x\to 2}{\lim }{\displaystyle \frac{xf(x)-2f(2)}{x-2}}=1$

が成り立っている．$x=2$における$f(x)$の値$f(2)$は$\boxed{\text{⑧}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　不定積分${\displaystyle \int }(x-2)e^{-\frac{1}{2}x}dx$を求めると，$\boxed{\text{①}}+C$である．ただし，$C$は積分定数である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(2)　不定積分${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{2x+3}{{(2x-1)}^2}}dx$を求めると，$\boxed{\text{②}}+C$である．ただし，$C$は積分定数である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(3)　定積分${\displaystyle {\int }_{\frac{1}{9}}^{\frac{1}{4}}}\sin (\pi \sqrt{x})dx$を求めると，${\displaystyle \frac{1}{{\pi }^2}}(\boxed{\text{③}})$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(4)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{2\sqrt{3}}}{\displaystyle \frac{1}{x^2+4}}dx$を求めると，$\boxed{\text{④}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(5)　$xy$座標平面の曲線

$x=t^3\text{，}y={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{t}}}{e}^{t^2}\text{（}1\leqq t\leqq 2\text{），}$

$2$直線$x=1\text{，}x=8$と$x$軸で囲まれた部分を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積は${\displaystyle \frac{3}{4}}{e}^2\pi (\boxed{\text{⑤}})$である．