2010　関西大　後期　総合情報学部3月4日実施MathJax

【１】　$3$次関数のグラフ

$C:y=x^3+3x^2+2x+1$

がある．曲線$C$上に点$\mathrm{P}$をとり，$\mathrm{P}$の$x$座標を$t$とする．

　このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線の方程式を求めよ．

(2)　(1)で求めた接線が点$\mathrm{A}(1,a)$を通るとき，$a$を$t$を用いて表せ．

(3)　点$\mathrm{A}(1,a)$を通る曲線$C$の接線が$3$本存在するときの$a$の範囲を求めよ．

【２】　$\mathrm{O}$を原点とする空間に$2$点$\mathrm{A}(1,0,2)$と$\mathrm{B}(2,1,0)$がある．線分$\mathrm{AB}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{P}$とする．ただし，$0<t<1$である．

　このとき，次の問いに答えよ．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$の成分を$t$を用いて表せ．

(2)　$x$軸上に点$\mathrm{Q}$をとる．直線$\mathrm{PQ}$が直線$\mathrm{AB}$と$x$軸の両方に直交している．このとき，$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

(3)　$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$が設問(2)の位置にあるとき，線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{M}$とし，直線$\mathrm{AM}$が$xy$平面と交わる点を$\mathrm{R}$とする．このとき，$\mathrm{R}$の座標を求めよ．

【３】　次の$\boxed{}$をうめよ．

　放物線$C:y=x^2$上に点$\mathrm{A}(a,a^2)\text{，}\mathrm{B}(2,4)$をとる．ただし，$0<a<2$とする．また，$\mathrm{O}$を原点とする．

(1)　$2$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}$を通る直線を$l$とする．$\mathrm{B}$を通り$l$に平行な直線を$m$とするとき，直線$m$の方程式は$\boxed{\text{①}}$である．$m$と$C$との交点のうち，$\mathrm{B}$と異なる点の座標は$\boxed{\text{②}}$である．

(2)　直線$l$に平行な$C$の接線を$n$とするとき，直線$n$の方程式は$\boxed{\text{③}}$である．

(3)　$3$つの直線$m\text{，}l\text{，}n$が等間隔に並ぶときの$a$の値は$\boxed{\text{④}}$である．このとき，$m$と$C$で囲まれる部分の面積を$S_1\text{，}l$と$C$で囲まれる部分の面積を$S_2$とするとき，

${\displaystyle \frac{S_1}{S_2}}=\boxed{\text{⑤}}$

である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　$5^{50}$は$\boxed{\text{①}}\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の数である．また，$5^{-30}$は小数第$\boxed{\text{②}}$位にはじめて$0$でない数字が出てくる．ただし，${\log }_{10}2=0.3010$とする．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(2)　不等式

$2+{\log }_{\frac{1}{2}}(x+3)>{\log }_{\frac{1}{4}}(1-x)$

を満たす$x$の範囲は

$\boxed{\text{③}}<x<\boxed{\text{④}}$

である．