2010　関西学院大　文系学部Ｆ方式2月1日実施MathJax

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$2$次方程式$2x^2+kx-20=0$の解を$\alpha \text{，}\beta$とし，$x^2+kx-4=0$の解を$\alpha \text{，}\gamma$とする．ただし，共通の解$\alpha$は正とする．このとき$\alpha =\boxed{\text{ア}}$であり，$k=\boxed{\text{イ}}$である．$\beta \text{，}\gamma$を解にもつ$2$次方程式は

$\boxed{\text{ウ}}{x}^2+7x+\boxed{\text{エ}}=0$

となる．また，$2$次不等式$\boxed{\text{ウ}}{x}^2+ax+\boxed{\text{エ}}>0$の解がすべての実数となるような定数$a$の値の範囲は$\boxed{\text{オ}}$である．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　$4$冊の本$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$が本立てに並んでいるとき，そのうちの相異なる$2$冊をでたらめに選び，それら$2$冊を入れ替えるという試行を考える．本は最初，左から$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$の順に並んでいるとして，上の試行を何回か繰り返すとする．

　$4$冊の本のうちから相異なる$2$冊を選ぶ選び方の総数は$\boxed{\text{カ}}$である．よって，試行を$1$回行うとき，左からの本の並びが$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$となる確率は$\boxed{\text{キ}}$である．最初から試行を$2$回行うとき，左からの本の並びが$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$になる確率は$\boxed{\text{ク}}\text{，}\mathrm{D}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{A}$になる確率は$\boxed{\text{ケ}}$であり，$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$になる確率は$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$2^{21}$は$\boxed{\text{ア}}$桁の数であり，$3^{-21}$を小数で表すと，小数第$\boxed{\text{イ}}$位で，初めて$0$でない数が現れる．また，$3^n>2^{21}>3^{n-1}$となるような自然数$n$の値は$\boxed{\text{ウ}}$であり，$\sqrt{3^m}>2^{21}>\sqrt{3^{m-1}}$となるような自然数$m$の値は$\boxed{\text{エ}}$である．ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}{\log }_{10}3=0.4771$とする．

【２】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　$1$辺の長さが$1$の正五角形$\mathrm{ABCDE}$がある．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\overrightarrow{b}$とする．対角線の長さ$x$を次の手順に従って求めよ．$\overrightarrow{\mathrm{EC}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$は平行で，大きさの比が$x:1$であるから，$\overrightarrow{\mathrm{EC}}=\boxed{\text{オ}}\overrightarrow{a}$であり，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{AE}}+\overrightarrow{\mathrm{EC}}=\boxed{\text{オ}}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$である．一方，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BD}}$について同様に考えると，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BD}}=\overrightarrow{a}+\boxed{\text{カ}}\overrightarrow{b}$となる．さらに，$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$は平行で，大きさの比が$1:x$であるから，$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\boxed{\text{キ}}\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\boxed{\text{キ}}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$である．よって，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\boxed{\text{ク}}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$である．したがって，係数$\boxed{\text{オ}}$と$\boxed{\text{ク}}$を比較すると，$x$に関する$2$次方程式$\boxed{\text{ケ}}$が得られ，$x=\boxed{\text{コ}}$が導かれる．

【３】　$y=2x^3-3x$で与えられる曲線$C$について，次の問いに答えよ．

(1)　$C$上の点$(a,2a^3-3a)$における$C$の接線の方程式を求めよ．

(2)　(1)で求めた接線が点$(t,0)$を通るとき，$a$と$t$の間に成り立つ式を求めよ．

(3)　$t\geqq 0$とする．点$(t,0)$を通る$C$の接線の本数を$t$の値に応じて求めよ．