2010　関西学院大　文系学部Ｆ方式2月2日実施MathJax

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$a$を実数とする．$x$の$2$次関数$f(x)=x^2+(a-1)x+a^2+{\displaystyle \frac{5}{2}}a-2$は$f(x)={(x+\boxed{\text{ア}})}^2+\boxed{\text{イ}}$と変形できる．ただし，$\boxed{\text{ア}}\text{，}\boxed{\text{イ}}$は$a$の式である．よって，$f(x)$は$x=-\boxed{\text{ア}}$で最小値$\boxed{\text{イ}}$をとる．$a$が変化するとき，$\boxed{\text{イ}}$の最小値は$\boxed{\text{ウ}}$である．また，$x$の$2$次方程式$f(x)=0$が異なる$2$つの実数解をもつような$a$の値の範囲は$\boxed{\text{エ}}<a<\boxed{\text{オ}}$である．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　袋の中に数字$-1\text{，}0\text{，}1$が$1$つずつ書かれた同じ大きさの$3$個の球が入っている．この袋から球を$1$個取り出し，その球に書かれた数字を調べてもとに戻すという試行を$3$回行う．$1$回目に取り出された球に書かれている数字を$a\text{，}2$回目に取り出された球に書かれている数字を$b\text{，}3$回目に取り出された球に書かれている数字を$c$とし，$X=2a+3b+7c$とおく．$X=1$となる確率は$\boxed{\text{カ}}$であり，$X=5$となる確率は$\boxed{\text{キ}}$である．また，$X=0$となる確率は$\boxed{\text{ク}}$であり，$X>0$となる確率は$\boxed{\text{ケ}}$である．

【２】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　実数$x\text{，}y$が$3x^2+3y^2+7xy-12x-12y-4=0$を満たすとき，$x+y=u\text{，}xy=v$とおいて$v$を$u$の式で表すと$v=\boxed{\text{ア}}$となる．$2$つの実数$x\text{，}y$を解とする$2$次方程式$t^2-ut+v=0$の判別式$D$を$u$の式で表すと$D=\boxed{\text{イ}}-16$となる．$t^2-ut+v=0$が実数解をもつことから，$u$の値は$u\leqq \boxed{\text{ウ}}\text{，}\boxed{\text{エ}}\leqq u$の範囲にある．

【２】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　各項が実数である等比数列$\{a_n\}$において，$a_2={\displaystyle \frac{9}{4}}\text{，}{a}_5={\displaystyle \frac{243}{256}}$であるとき，初項は$\boxed{\text{オ}}$であり，公比は$\boxed{\text{カ}}$である．よって，この等比数列の第$n$項$a_n$を$n$の式で表すと$a_n=\boxed{\text{キ}}$である．また，初項から第$n$項までの和$S_n$を$n$の式で表すと$S_n=\boxed{\text{ク}}$であるので，$S_n\geqq 11$となる最小の自然数$n$は$\boxed{\text{ケ}}$である．ただし，$1.58<{\log }_{2}3<1.59$である．

【３】　$xy$平面において点$(p,q)$は$q<p^2$を満たすとし，点$(p,q)$から放物線$y=x^2$に$2$本の接線を引く．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$p=0\text{，}q=-1$のとき，$2$本の接線の方程式を求めよ．

(2)　$2$本の接線が垂直に交わるような点$(p,q)$全体のなす図形は$pq$平面上の直線になる．この直線の方程式を求めよ．

(3)　$p=1\text{，}q=-3$のとき，$2$本の接線と放物線とで囲まれる部分の面積を求めよ．