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2010-15113-0501
2010 関西学院大学 教育(理系),理工学部A方式
2月3日実施
易□ 並□ 難□
【1】 次の文章中の に適する式または数値を,解答用紙の同じ記号のついた の中に記入せよ.途中の計算を書く必要はない.
(1) 関数 y= 2⁢3 ⁢sin⁡ x⁢cos⁡ x+4cos 2⁡x- 2⁢sin2 ⁡x について
y= ア⁢ sin⁡ (2⁢x + イ )+ ウ
が成り立つ(ただし 0≦ イ <π ).
0≦x≦ π 2 のとき, y は x= エ で最大値をとり, x= オ で最小値をとる.
2010-15113-0502
(2) 右の図のように,道路が 碁盤ごばん の目のようになった街がある.地点 A から地点 B まで最短距離で行く道順について考える.
・このような道順は全部で カ 通りある.
・地点 P を通る道順は キ 通りある.
・地点 P と地点 Q の両方を通る道順は ク 通りある.
・地点 P を通って地点 Q を通らない道順は ケ 通りある.
・地点 P も地点 Q も通らない道順は コ 通りある.
2010-15113-0503
【2】 1 から順に正の整数を並べて,
1,2| 3,4, 5,6 |7 ,8,9 ,10,11 ,12| 13,14, ⋯
のように第 n 群が 2⁢ n 個の数を含むように分ける.このとき,次の問いに答えよ.
(1) 第 10 群の最後の数を求めよ.また,一般に第 n 群の最後の数を求めよ.
(2) 2010 が第 p 群の q 番目の数となるような p ,q を求めよ.
(3) 第 n 群の最初の数を求めよ.また,第 n 群に含まれるすべての数の和 Sn を求めよ.
(4) 第 n 群に含まれるすべての奇数の和 Tn を求めよ.また, limn→ ∞⁡ SnT n を求めよ.
2010-15113-0504
【3】 実数 t に対して,中心が (t, t2 ) であり,直線 y= -1 に接する円を Ct と表す.このとき,次の問いに答えよ.
(1) 円 Ct の方程式を求めよ.
(2) a は 0 でない定数とする.点 ( a,- 12 ) が Ct 上にあるとき, t の値を a で表せ.
(3) 点 (5, 8) が Ct 上にあるとき, t の値を求めよ.
(4) t がすべての実数値をとって変化するとき,円 Ct が通る座標平面上の領域を図示せよ.
2010-15113-0505
【4】 関数 f⁡ (x)= x⁢1 -x2 ( 0≦ x≦1 ) のグラフを曲線 C とし, 0<a< 1 をみたす定数 a に対して直線 l: y=a⁢ x を考える.このとき,次の問いに答えよ.
(1) 関数 f⁡ (x) の極大値を求めよ.
(2) 曲線 C と直線 l の共有点の x 座標を求めよ.
(3) 曲線 C と直線 l で囲まれる部分の面積 S を求めよ.