2010　関西学院大　文系関学独自方式2月5日実施MathJax

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$5+2\sqrt{6}$は，$2$つの自然数$\boxed{\text{ア}}$と$\boxed{\text{イ}}$を用いて，

$5+2\sqrt{6}={(\sqrt{\boxed{\text{ア}}}+\sqrt{\boxed{\text{イ}}})}^2$

と表すことができるから，$\sqrt{5+2\sqrt{6}}=\sqrt{\boxed{\text{ア}}}+\sqrt{\boxed{\text{イ}}}$である．ただし，$\boxed{\text{ア}}>\boxed{\text{イ}}$とする．$a$は$\sqrt{5+2\sqrt{6}}$の整数部分，つまり，

$a\leqq \sqrt{5+2\sqrt{6}}<a+1$

を満たす整数とすると$a=\boxed{\text{ウ}}$である．また，$b=\sqrt{\boxed{\text{ア}}}+\sqrt{\boxed{\text{イ}}}-a$とし，${\displaystyle \frac{1}{b}}$の分母を有理化すると${\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}\sqrt{2}+4\sqrt{3}+\boxed{\text{オ}}\sqrt{6}+6}{4}}$となる．ただし，$\boxed{\text{エ}}\text{，}\boxed{\text{オ}}$は整数である．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$の$6$文字から，繰り返し用いることを許して$4$個の文字を選び，順列をつくる．このような順列の総数は$\boxed{\text{カ}}$個であり，同じ文字が隣り合わないような順列の総数は$\boxed{\text{キ}}$個である．また，$\boxed{\text{カ}}$個の順列の中で，$\mathrm{A}$を含まないものは$\boxed{\text{ク}}$個あり，$\mathrm{A}$も$\mathrm{B}$も$1$個以上含むものは$\boxed{\text{ケ}}$個ある．

【２】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$n$は自然数，$a$は$0$以上の整数とする．$2$つの不等式

$0\leqq x\leqq 4^n\text{，}a\leqq {\log }_{2}x\cdots \text{①}$

をともに満たすような整数$x$の個数を求めたい．

　$a=0$のとき，$2$つの不等式$\text{①}$を満たすような整数$x$の個数は$\boxed{\text{ア}}$個である．$a=2n+1$のとき，$\text{①}$を満たすような整数$x$の個数は$\boxed{\text{イ}}$個である．$\text{①}$を満たすような整数$x$が$1$個以上あるような$a$の値の範囲は$0\leqq a\leqq \boxed{\text{ウ}}$である．$a$の値が$0\leqq a\leqq \boxed{\text{ウ}}$の範囲にあるとき，$\text{①}$を満たすような整数$x$の個数は$\boxed{\text{エ}}$個である．

【２】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　$2$つの数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$が

$a_1={\displaystyle \frac{2}{3}}\text{，}{b}_1={\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}{a}_2=0\text{，}{b}_2=0\text{，}$

と

$a_{n+2}={\displaystyle \frac{4}{9}}{a}_n+{\displaystyle \frac{5}{9}}{b}_n\text{，}{b}_{n+2}={\displaystyle \frac{5}{9}}{a}_n+{\displaystyle \frac{5}{9}}{b}_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たすとする．このとき

$a_{n+2}+b_{n+2}=\boxed{\text{オ}}(a_n+b_n)\text{，}{a}_{n+2}-b_{n+2}=\boxed{\text{カ}}(a_n-b_n)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

が成り立つ．このことから

$a_{2n}=\boxed{\text{キ}}\text{，}{b}_{2n}=\boxed{\text{ク}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

および

$a_{2n+1}=\boxed{\text{ケ}}\text{，}{b}_{2n+1}=\boxed{\text{コ}}\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

となることがわかる．

【３】　$t$の関数$S(t)={\displaystyle {\int }_0^1}|x^2-tx|dx\text{（}0\leqq t\leqq 1\text{）}$について，次の問いに答えよ．

(1)　$S(t)$を求めよ．

(2)　関数$S(t)$の増減表をかき，$S(t)$が最小となる$t$の値$a$と値$S(a)$を求めよ．

(3)　$b$を正の実数とし，$a$を(2)の値とする．曲線$y=x^2$と直線$y=ax+b$で囲まれた部分の面積が${\displaystyle \frac{4}{3}}$となるときの$b$の値を求めよ．