2010　関西学院大　理系関学独自方式2月5日実施MathJax

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　座標空間内に$4$点$\mathrm{A}(1,1,-1)\text{，}\mathrm{B}(0,1,-{\displaystyle \frac{1}{2}})\text{，}\mathrm{C}(-2,0,1)\text{，}\mathrm{D}(-3,-1,2)$があるとする．直線$\mathrm{AB}$上にある点の$x$座標が$t$ならば，その点の$z$座標は$\boxed{\text{ア}}$である．直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{CD}$の交点$\mathrm{E}$の座標は$\boxed{\text{イ}}$である．点$\mathrm{E}$は線分$\mathrm{AB}$を$1:\boxed{\text{ウ}}$に外分し，$\cos \angle \mathrm{AEC}=\boxed{\text{エ}}$である．また，$xy$平面上にある点$\mathrm{F}$が$\overrightarrow{\mathrm{EF}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{EA}}=2\text{，}\overrightarrow{\mathrm{EF}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{EC}}=3$をみたすならば，点$\mathrm{F}$の座標は$\boxed{\text{オ}}$である．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　${(x^3+1)}^4$の展開式における$x^9$の係数は$\boxed{\text{カ}}$で$x^6$の係数は$\boxed{\text{キ}}$であり，${(x^3+x-1)}^3$の展開式における$x^5$の係数は$\boxed{\text{ク}}$で$x^2$の係数は$\boxed{\text{ケ}}$である．また，${(x^3+1)}^4{(x^3+x-1)}^3$の展開式における$x^{11}$の係数は$\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　曲線$C:y=\log x$に原点$(0,0)$から引いた接線を$l$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a>0$のとき点$(a,\log a)$における$C$の接線の方程式を求めよ．

(2)　直線$l$の方程式を求めよ．

(3)　曲線$C$と直線$l$および$x$軸で囲まれる部分の面積$S$を求めよ．

(4)　曲線$C$と直線$l$および$x$軸で囲まれる部分を$x$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

【３】　座標平面上に点$\mathrm{P}(\cos \theta ,\sin \theta )$と直線$l:y=x$がある．$a>1$のとき，次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$を通り$x$軸に平行な直線と直線$l$との交点を$\mathrm{Q}$とし，また，直線$l$に関して点$\mathrm{P}$と対称な点を$\mathrm{R}$とする．$2$点$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$の座標を求めよ．ただし，$\mathrm{P}$が$l$上にあるときは$\mathrm{P}=\mathrm{R}$とする．

(2)　点$\mathrm{Q}$を通り傾きが$-1$の直線と，点$\mathrm{R}$を通り傾きが$-a$の直線との交点を$\mathrm{S}(X,Y)$とする．$X\text{，}Y$を$\theta$と$a$の式で表せ．

(3)　$\theta$が$0\leqq \theta <2\pi$の範囲を動くとき，$X-Y$のとりうる値の範囲を$a$で表せ．

(4)　$a=2$とする．$\theta$が$0\leqq \theta <2\pi$の範囲を動くとき，$XY$のとりうる値の範囲を求めよ．

【４】　数列$\{a_n\}$は

$a_1=6\text{，}{a}_n={\displaystyle \frac{2}{n-1}}{S}_{n-1}+n^2+n\text{（}n\geqq 2\text{）}$

によって定まるものとする．ただし，$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k\text{（}n\geqq 1\text{）}$である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a_2$と$a_3$を求めよ．

(2)　$n\geqq 2$のとき，差$S_n-S_{n-1}$に注目することにより$a_{n+1}$を$a_n$と$n$の式で表せ．

(3)　$b_n={\displaystyle \frac{a_n}{n}}\text{（}n\geqq 1\text{）}$とする．$n\geqq 2$のとき$b_{n+1}$を$b_n$の式で表せ．

(4)　$n\geqq 1$のとき$b_n$と$a_n$を求めよ．