2010　関西学院大　社会,法学部A方式2月7日実施MathJax

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　実数$x\text{，}y$が条件$x^2+y^2=1$をみたす範囲で動くとする．$t=x-y$とおいて，条件$x^2+y^2=1$を$x$と$t$の式で表して，$x$について降べきの順に整理すると$\boxed{\text{ア}}=0$を得る．$x$の$2$次方程式$\boxed{\text{ア}}=0$が実数解をもつような$t$の値の範囲は$\boxed{\text{イ}}\leqq t\leqq \boxed{\text{ウ}}$である．さらに，$z=xy+2x-2y$を$t$の式で表すと$z=\boxed{\text{エ}}$であり，$z$の最小値は$\boxed{\text{オ}}$である．

【１】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　$1$から$6$までの数字が$1$つずつ書かれた$6$個の球がある．この中から$2$個の球を同時に取り出す．取り出された球に書かれた$2$個の数字の和$S$から，取り出されなかった$4$個の球に書かれた数字の和$T$を引いた値を$X$とする．$X$を$S$で表すと，$X=\boxed{\text{カ}}$となる．$X=-7$となる確率は$\boxed{\text{キ}}$であり，$X$が正となる確率は$\boxed{\text{ク}}$である．また，$X$の期待値は$\boxed{\text{ケ}}$である．

【２】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　方程式$4^x-2^x=12$の解は$x=\boxed{\text{ア}}$である．$k$を定数とするとき，方程式$4^x-2^x=k$がただ$1$つの解をもつのは$k$の値が$k\geqq \boxed{\text{イ}}$の範囲にあるか，または，$k=\boxed{\text{ウ}}$のときである．また，$k=\boxed{\text{ウ}}$のとき，方程式$4^x-2^x=k$の解は$x=\boxed{\text{エ}}$である．

【２】　次の文章中の$\boxed{}$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$\boxed{}$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$がある．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくと，$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$の内積は$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\boxed{\text{オ}}$である．$▵\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とすると，線分$\mathrm{OG}$の長さは$\boxed{\text{カ}}$である．また，辺$\mathrm{OA}$および辺$\mathrm{BC}$をそれぞれ$1:2$の比に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表すと$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\boxed{\text{キ}}$であり，$\mathrm{PQ}$の長さは$\boxed{\text{ク}}$である．$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\boxed{\text{ケ}}$であるから，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$のなす角を$\theta$とすると$\cos \theta =\boxed{\text{コ}}$である．

【３】　$a\text{，}b$は正の数とする．関数$f(x)={\log }_{10}{\displaystyle \frac{x}{a}}\cdot {\log }_{10}{\displaystyle \frac{x}{b}}\text{（}x>0\text{）}$について次の問いに答えよ．ただし，$X={\log }_{10}x$とおく．

(1)　$f(x)=X^2+pX+q$となる定数$p\text{，}q$を$a\text{，}b$で表せ．

(2)　$ab=10000$であるとき，$f(x)$を$X$と$a$で表せ．

(3)　(2)において$f(x)$の最小値が$-1$であるとき，$a$と$b$の値を求めよ．ただし，$a>b$とする．