2010　西南学院大学　経済，国際文化学部Ａ日程MathJax

【１】

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(1)　$3$つの正の整数$a\text{，}b\text{，}c$（ただし，$a<b<c$）が${\displaystyle \frac{1}{a+1}}+{\displaystyle \frac{1}{b+1}}+{\displaystyle \frac{1}{c+1}}=1$を満たすとき，$a=\boxed{\text{ア}}$である．

【１】

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(2)　$2$つの整式の和が$4x^3＋18x^2+4x-6\text{，}$差が$2x^3-18x^2+2x+18$であるとする．このとき，この$2$つの整式は，$\boxed{\text{イ}}{x}^3+\boxed{\text{ウ}}x+\boxed{\text{エ}}$と$\boxed{\text{オ}}{x}^3+\boxed{\text{カキ}}{x}^2+\boxed{\text{ク}}x-\boxed{\text{ケコ}}$になる．

【１】

２　$3$人の女子と$10$人の男子が円卓に座るとき，

(1)　$3$人の女子が連続して並ぶ確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シス}}}}$である．

(2)　少なくとも$2$人の女子が連続して並ぶ確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソタ}}}}$である．

(3)　男子が連続して$5$人以上並ばない確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツテ}}}}$である．

【２】

1　平行四辺形$\mathrm{OABC}$の辺$\mathrm{AB}$を$5:2$の比に内分する点を$\mathrm{P}$とする．ただし，$\angle \mathrm{OAB}$は鋭角とする．次の問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{ナ}}}}\overrightarrow{\mathrm{OC}}$である．

(2)　$\mathrm{OP}$と$\mathrm{AC}$が交わる点を$\mathrm{Q}$とすると，$\mathrm{AQ}:\mathrm{QC}=\boxed{\text{ニ}}:\boxed{\text{ヌ}}$である．

(3)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=\sqrt{3}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$とする．点$\mathrm{P}$より辺$\mathrm{OA}$に向けて垂線を引き，辺$\mathrm{OA}$との交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{PR}}=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}}}{\boxed{\text{ノハ}}}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヒ}}}{\boxed{\text{フ}}}}\overrightarrow{\mathrm{OC}}$である．

【２】

2　$3$辺の長さが$a\text{，}a+2\text{，}a+4$である三角形について考える．次の問に答えよ．

(1)　この三角形が鈍角三角形であるとき，$a$のとり得る範囲は$\boxed{\text{ヘ}}<a<\boxed{\text{ホ}}$である．

(2)　この三角形の$1$つの内角が$120°$であるとき，$a=\boxed{\text{マ}}$となり，外接円の半径は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ミ}}\sqrt{\boxed{\text{ム}}}}{\boxed{\text{メ}}}}$となる．

【３】　$f(x)$は$f^{\prime }(x)=3x^2+2kx-k\text{，}f(1)=10$を満たす関数である．ただし，$k$は定数とする．次の問に答えよ．

(1)　$f(x)$を求めよ．

(2)　$f(x)$が極大値および極小値を持つとき，$k$が満たす条件を求めよ．

(3)　$y=f(x)$のグラフが点$(2,f(2))$に関して点対称となるとき，$k$の値を求めよ．